Страница 102 номер 2.163, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Постройте график зависимости:
а) \(y=\sqrt{x^2}\);
б) \(y=(\sqrt{x})^2\);
в) \(y=x(\sqrt{x})^2\);
г) \(y=x\sqrt{x^2}\).
а) \(\sqrt{x^2} = |x|\), поэтому \(y = |x|\): при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x\), при \(x < 0\) — \(y = -x\). График — два луча с общим началом в точке \(O(0; 0)\): один проходит через точку \((2; 2)\), другой — через точку \((-2; 2)\).
б) Выражение \((\sqrt{x})^2\) имеет смысл лишь при \(x \geqslant 0\), и тогда \((\sqrt{x})^2 = x\). Значит, \(y = x\), где \(x \geqslant 0\). График — луч с началом в точке \(O(0; 0)\), проходящий через точку \((2; 2)\).
в) Выражение \(x(\sqrt{x})^2\) имеет смысл лишь при \(x \geqslant 0\), и тогда \(x(\sqrt{x})^2 = x \cdot x = x^2\). Значит, \(y = x^2\), где \(x \geqslant 0\). График — правая ветвь параболы \(y = x^2\) вместе с вершиной \(O(0; 0)\); она проходит через точки \((1; 1)\) и \((2; 4)\).
г) \(\sqrt{x^2} = |x|\), поэтому \(y = x|x|\). Если \(x \geqslant 0\), то \(y = x \cdot x = x^2\); если \(x < 0\), то \(y = x \cdot (-x) = -x^2\). При \(x \geqslant 0\) график — правая ветвь параболы \(y = x^2\) (точки \((1; 1)\) и \((2; 4)\)), при \(x < 0\) — ветвь, симметричная левой ветви этой параболы относительно оси \(x\) (точки \((-1; -1)\) и \((-2; -4)\)).
Ответ: зависимости можно задать равенствами: а) \(y = |x|\); б) \(y = x\), где \(x \geqslant 0\); в) \(y = x^2\), где \(x \geqslant 0\); г) \(y = x|x|\), то есть \(y = x^2\) при \(x \geqslant 0\) и \(y = -x^2\) при \(x < 0\).
Постройте график зависимости:
а) \(y=\sqrt{x^2}\);
б) \(y=(\sqrt{x})^2\);
в) \(y=x(\sqrt{x})^2\);
г) \(y=x\sqrt{x^2}\).
а) По равенству \(\sqrt{x^2} = |x|\) зависимость \(y = \sqrt{x^2}\) — это зависимость \(y = |x|\): при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x\), при \(x < 0\) — \(y = -x\). Её график — два луча с общим началом в точке \(O(0; 0)\): один проходит через точку \((2; 2)\), другой — через точку \((-2; 2)\).
б) Выражение \((\sqrt{x})^2\) имеет смысл лишь при \(x \geqslant 0\), и для таких значений \(x\) верно \((\sqrt{x})^2 = x\). Значит, это зависимость \(y = x\), где \(x \geqslant 0\). Её график — луч с началом в точке \(O(0; 0)\), проходящий через точку \((2; 2)\).
в) Выражение \(x(\sqrt{x})^2\) имеет смысл лишь при \(x \geqslant 0\), и тогда \(x(\sqrt{x})^2 = x \cdot x = x^2\). Значит, это зависимость \(y = x^2\), где \(x \geqslant 0\). Её график — правая ветвь параболы \(y = x^2\) вместе с вершиной \(O(0; 0)\); она проходит через точки \((1; 1)\) и \((2; 4)\).
г) По равенству \(\sqrt{x^2} = |x|\) получаем \(y = x|x|\). Если \(x \geqslant 0\), то \(y = x \cdot x = x^2\); если \(x < 0\), то \(y = x \cdot (-x) = -x^2\). Значит, при \(x \geqslant 0\) график совпадает с правой ветвью параболы \(y = x^2\) (точки \((1; 1)\) и \((2; 4)\)), а при \(x < 0\) — с ветвью, симметричной левой ветви этой параболы относительно оси \(x\) (точки \((-1; -1)\) и \((-2; -4)\)).
Ответ: зависимости можно задать равенствами: а) \(y = |x|\); б) \(y = x\), где \(x \geqslant 0\); в) \(y = x^2\), где \(x \geqslant 0\); г) \(y = x|x|\), то есть \(y = x^2\) при \(x \geqslant 0\) и \(y = -x^2\) при \(x < 0\).
