Проверьте себя на страницах 112-113, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

\[2\sqrt{-\frac{3}{4} + 1} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.\]

Ответ: 1.

По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{a} = b\) означает, что \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\). Значит, верно равенство 3) \(a = b^2\).

Равенства 1), 2) и 4) из условия не следуют. Например, \(\sqrt{4} = 2\), то есть \(a = 4\), \(b = 2\), но \(4^2 \ne 2\), \(4^2 \ne 2^2\) и \(4 \ne \sqrt{2}\).

Ответ: 3) \(a = b^2\).

Умножим обе части формулы на 2, а затем разделим на ускорение \(g\) — положительное число: \[\begin{aligned} h &= \frac{gt^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ gt^2 &= 2h; \qquad | : g \\ t^2 &= \frac{2h}{g}. \end{aligned}\]

Время \(t\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{2h}{g}\), поэтому по определению арифметического квадратного корня \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

Ответ: \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).

\(\sqrt{121} = 11\), так как \(11^2 = 121\); число 11 рациональное.

\(\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\), так как \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\); число \(\frac{3}{2}\) рациональное.

Так как \(0{,}4 = \frac{10}{25}\), то \(\sqrt{0{,}4} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{10}}{5}\). Если бы число \(\sqrt{0{,}4}\) было рациональным, то рациональным было бы и число \(\sqrt{10} = 5\sqrt{0{,}4}\). Но 10 — натуральное число, не являющееся квадратом целого числа, поэтому \(\sqrt{10}\) — иррациональное число. Значит, число \(\sqrt{0{,}4}\) иррациональное.

Ответ: \(\sqrt{0{,}4}\).

Так как \(9^2 = 81 < 86 < 100 = 10^2\), то \(9 < \sqrt{86} < 10\). Значит, не подходят точка \(K\), лежащая левее числа 9, и точка \(N\), лежащая правее числа 10. Между 9 и 10 лежат точки \(L\) и \(M\).

Так как \(9{,}5^2 = 90{,}25 > 86\), то \(\sqrt{86} < 9{,}5\): число \(\sqrt{86}\) лежит между 9 и \(9{,}5\), то есть левее середины отрезка от 9 до 10. Там из двух точек находится только точка \(L\); точка \(M\) лежит в середине этого отрезка, у числа \(9{,}5\).

Ответ: точка \(L\).

Из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше; квадраты чисел \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{10}\) равны 5 и 10.

Так как \(5 < 3^2 = 9 < 10\), то \(\sqrt{5} < 3 < \sqrt{10}\).

Числа 4 и 6 больше \(\sqrt{10}\), так как \(4^2 = 16 > 10\) и \(6^2 = 36 > 10\); число 2 меньше \(\sqrt{5}\), так как \(2^2 = 4 < 5\).

Ответ: 3) 3.

Квадратного корня из отрицательного числа не существует, поэтому выражение \(\sqrt{1 - m}\) не имеет смысла, если подкоренное выражение \(1 - m\) отрицательно. Найдём его значение при каждом из данных \(m\).

1) \(1 - (-2) = 3\) — выражение имеет смысл.

2) \(1 - 0 = 1\) — выражение имеет смысл.

3) \(1 - 1 = 0\) — выражение имеет смысл: \(\sqrt{0} = 0\).

4) \(1 - 2 = -1 < 0\) — выражение не имеет смысла.

Ответ: 4) при \(m = 2\).

Уравнение \(x^2 = a\) имеет два корня при \(a > 0\), один корень (число 0) при \(a = 0\) и не имеет корней при \(a < 0\).

А) \(120 > 0\), поэтому уравнение \(x^2 = 120\) имеет два корня: \(\sqrt{120}\) и \(-\sqrt{120}\), — это вариант 2).

Б) Уравнение \(x^2 = 0\) имеет единственный корень 0 — это вариант 3).

В) \(-100 < 0\), поэтому уравнение \(x^2 = -100\) корней не имеет — это вариант 1).

Ответ: А2, Б3, В1.

\[\begin{aligned} x^2 - \frac{3}{4} &= 0; \\ x^2 &= \frac{3}{4}. \end{aligned}\]

Так как \(\frac{3}{4} > 0\), уравнение имеет два корня: \(x = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(x = -\sqrt{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Точка \((a; b)\) принадлежит графику зависимости \(y = \sqrt{x}\), если \(b = \sqrt{a}\), то есть \(b \geqslant 0\) и \(b^2 = a\).

1) Ордината точки \(M(225; -15)\) отрицательна, а \(\sqrt{225} = 15\), поэтому точка \(M\) графику не принадлежит.

2) \(\sqrt{64} = 8\), а ордината точки \(N(64; 10)\) равна 10, поэтому точка \(N\) графику не принадлежит.

3) \(\sqrt{196} = 14\), так как \(14^2 = 196\), — точка \(P(196; 14)\) графику принадлежит.

4) \(144^2 = 20\,736 \ne 12\), поэтому \(\sqrt{12} \ne 144\) и точка \(Q(12; 144)\) графику не принадлежит.

Ответ: 3) \(P(196; 14)\).

Все четыре числа положительны, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше. Квадраты данных чисел: \(0{,}3^2 = 0{,}09\);
\((\sqrt{0{,}3})^2 = 0{,}3\);
\(1{,}5^2 = 2{,}25\);
\((\sqrt{1{,}5})^2 = 1{,}5\). Так как \(0{,}09 < 0{,}3 < 1{,}5 < 2{,}25\), то \[0{,}3 < \sqrt{0{,}3} < \sqrt{1{,}5} < 1{,}5.\]

Ответ: \(0{,}3 < \sqrt{0{,}3} < \sqrt{1{,}5} < 1{,}5\).

\[\sqrt{15 \cdot 240} = \sqrt{15 \cdot 15 \cdot 16} = \sqrt{15^2 \cdot 4^2} = 15 \cdot 4 = 60.\]

Ответ: 60.

Равенство \(\sqrt{a} = b\) верно, если \(b \geqslant 0\) и \(b^2 = a\); все правые части данных равенств положительны, поэтому достаточно возвести их в квадрат.

1) \(33^2 = 1089\) — равенство верно.

2) \(330^2 = 108\,900\) — равенство верно.

3) \(3{,}3^2 = 10{,}89\) — равенство верно.

4) \(0{,}33^2 = 0{,}1089\), а не \(1{,}089\) — равенство неверно.

Ответ: неверно равенство 4) \(\sqrt{1{,}089} = 0{,}33\).

\[\begin{aligned} &\frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}} = \frac{12\sqrt{21 \cdot 35}}{7\sqrt{60}} = \frac{12\sqrt{7^2 \cdot 15}}{7\sqrt{4 \cdot 15}} = {} \\ &= \frac{12 \cdot 7\sqrt{15}}{7 \cdot 2\sqrt{15}} = 6. \end{aligned}\]

Ответ: 6.

При любом \(x\) верно равенство \(\sqrt{x^2} = |x|\), поэтому \(\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}|\). Так как \(3 > 1\), то \(\sqrt{3} > 1\) и число \(1 - \sqrt{3}\) отрицательно; модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: \[\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1.\]

Это выражение 2). Выражение 1) отрицательно, а квадратный корень отрицательным не бывает. Выражения 3) и 4) равны \((\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}\), а это число меньше, чем \(\sqrt{3} - 1\): разность \((\sqrt{3} - 1) - (4 - 2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 5\) положительна, так как \((3\sqrt{3})^2 = 27 > 25 = 5^2\).

Ответ: 2) \(\sqrt{3} - 1\).

Вынесем множители из-под знаков корней и приведём подобные радикалы в числителе и в знаменателе: \[\begin{aligned} 2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5} &= 4\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2}; \\ 4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18} &= 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Сократим дробь на \(\sqrt{2}\): \[\frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3}.\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\).

Так как \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\), то данная дробь равна выражению 4). Освободимся в ней от иррациональности в знаменателе: \[\frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3(\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}.\]

Значит, данной дроби равно выражение 3). Выражение 2) тоже равно ей: \(\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\). А выражение 1) равно \(\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\), и \(\frac{1}{3} \ne \frac{\sqrt{2}}{3}\), так как \(\sqrt{2} \ne 1\).

Ответ: 1) \(\sqrt{\frac{1}{9}}\).

Квадрат суммы раскроем по формуле, корни перемножим: \[\begin{aligned} &(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - \sqrt{64} = {} \\ &= 8 + 2\sqrt{15} - 8 = 2\sqrt{15}. \end{aligned}\]

Ответ: \(2\sqrt{15}\).

Корень четвёртой степени из числа \(\frac{1}{81}\) — число, четвёртая степень которого равна \(\frac{1}{81}\); знак \(\sqrt[4]{\ }\) обозначает неотрицательный такой корень. Так как \(\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}\) и \(\frac{1}{3} > 0\), то \[\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{1}{3}.\]

Ответ: \(\frac{1}{3}\).

Число \(\sqrt[3]{30}\) положительно, и его куб равен 30. Из двух положительных чисел больше то, куб которого больше: куб большего объёма имеет большее ребро. Так как \(3^3 = 27 < 30 < 64 = 4^3\), то \[3 < \sqrt[3]{30} < 4.\]

Ответ: 3 и 4.