Страница 181 номер 346, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок предлагал прохожему взять два любых конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних уголка, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных уголка, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего.
Уголки платка по кругу — 1, 2, 3, 4; соседние — 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1, противоположные — 1 и 3, 2 и 4.
Элементарное событие — пара уголков, которую вытащил прохожий. Первый конец — любой из 4 уголков, второй — любой из 3 оставшихся: \(4 \cdot 3 = 12\) упорядоченных пар. Но вытащенная пара от порядка не зависит, и в этом подсчёте каждая пара посчитана дважды: например, уголки 1 и 2 — и как \((1; 2)\), и как \((2; 1)\). Значит, различных пар \(N = 12 : 2 = 6\): 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. Прохожий не видит, какие концы соседние, и берёт два конца наудачу, поэтому все 6 элементарных событий равновозможны.
Событие \(A\) «прохожий выиграет» — пары противоположных уголков 1 и 3, 2 и 4: \(N(A) = 2\). \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Одно время на улицах и вокзалах профессиональные игроки предлагали прохожим испытать удачу в простой игре. Зажав в кулаке обычный носовой платок так, что наружу высовывались только четыре уголка, игрок предлагал прохожему взять два любых конца и потянуть за них. Если прохожий вытаскивал два соседних уголка, то он проигрывал. Если прохожий вытаскивал два противоположных уголка, то он выигрывал. Найдите вероятность выигрыша прохожего.
Пронумеруем уголки платка по кругу: 1, 2, 3, 4. Соседние уголки — 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1, противоположные — 1 и 3, 2 и 4.
Элементарное событие — пара уголков, которую вытащил прохожий. Первый конец — любой из 4 уголков, второй — любой из 3 оставшихся: по правилу умножения получается \(4 \cdot 3 = 12\) упорядоченных пар. Но вытащенная пара от порядка не зависит, и в этом подсчёте каждая пара посчитана дважды: например, уголки 1 и 2 — и как \((1; 2)\), и как \((2; 1)\). Значит, различных пар \(N = 12 : 2 = 6\): 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 3 и 4. Прохожий не видит, какие концы соседние, и берёт два конца наудачу, поэтому все 6 элементарных событий равновозможны.
Событию \(A\) «прохожий выиграет» благоприятствуют два элементарных события — пары противоположных уголков 1 и 3, 2 и 4: \(N(A) = 2\). Следовательно, \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
