Страница 181 номер 345, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (рис. 82). Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле: а) h1; б) a5; в) c4; г) d7; д) d5; е) g3.
Элементарное событие — поле, на котором стоит слон: \(N = 64\). Слон поставлен на доску случайным образом, поэтому все элементарные события равновозможны.
Слон может перейти на заданное поле, если стоит на одной из диагоналей, проходящих через это поле, но не на нём самом; такие поля и благоприятствуют событию.
а) Поле h1 — угловое, через него проходит одна диагональ. Событие \(A\) «слон может перейти на поле h1»: 7 полей этой диагонали — a8, b7, c6, d5, e4, f3, g2, \(N(A) = 7\). \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{7}{64}.\]
б) Через поле a5 проходят две диагонали; кроме самого поля a5, на одной из них 3 поля (b6, c7, d8), на другой — 4 поля (b4, c3, d2, e1). Событие \(B\) «слон может перейти на поле a5»: \(N(B) = 3 + 4 = 7\). \[P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{7}{64}.\]
в) Через поле c4 проходят две диагонали; кроме самого поля c4, на одной из них 5 полей (a6, b5, d3, e2, f1), на другой — 6 полей (a2, b3, d5, e6, f7, g8). Событие \(C\) «слон может перейти на поле c4»: \(N(C) = 5 + 6 = 11\). \[P(C) = \frac{N(C)}{N} = \frac{11}{64}.\]
г) Через поле d7 проходят две диагонали; кроме самого поля d7, на одной из них 5 полей (c8, e6, f5, g4, h3), на другой — 4 поля (a4, b5, c6, e8). Событие \(D\) «слон может перейти на поле d7»: \(N(D) = 5 + 4 = 9\). \[P(D) = \frac{N(D)}{N} = \frac{9}{64}.\]
д) Через поле d5 проходят две диагонали; кроме самого поля d5, на одной из них 7 полей (a8, b7, c6, e4, f3, g2, h1), на другой — 6 полей (a2, b3, c4, e6, f7, g8). Событие \(E\) «слон может перейти на поле d5»: \(N(E) = 7 + 6 = 13\). \[P(E) = \frac{N(E)}{N} = \frac{13}{64}.\]
е) Через поле g3 проходят две диагонали; кроме самого поля g3, на одной из них 6 полей (b8, c7, d6, e5, f4, h2), на другой — 3 поля (e1, f2, h4). Событие \(F\) «слон может перейти на поле g3»: \(N(F) = 6 + 3 = 9\). \[P(F) = \frac{N(F)}{N} = \frac{9}{64}.\]
Ответ: а) \(\frac{7}{64}\); б) \(\frac{7}{64}\); в) \(\frac{11}{64}\); г) \(\frac{9}{64}\); д) \(\frac{13}{64}\); е) \(\frac{9}{64}\).
Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей, двигаясь только по диагонали (рис. 82). Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле: а) h1; б) a5; в) c4; г) d7; д) d5; е) g3.
Слон поставлен на доску случайным образом, поэтому любое из 64 полей может оказаться под ним с равными шансами. Элементарное событие — поле, на котором стоит слон: \(N = 64\), и все элементарные события равновозможны.
Слон за один ход переходит на любое поле своих диагоналей. Поэтому он может перейти на заданное поле, если стоит на одной из диагоналей, проходящих через это поле, но не на нём самом. Такие поля и благоприятствуют событию.
а) Поле h1 — угловое, через него проходит одна диагональ. Событию \(A\) «слон может перейти на поле h1» благоприятствуют 7 полей этой диагонали: a8, b7, c6, d5, e4, f3, g2. Значит, \(N(A) = 7\) и \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{7}{64}.\]
б) Через поле a5 проходят две диагонали. Кроме самого поля a5, на одной из них лежат 3 поля (b6, c7, d8), на другой — 4 поля (b4, c3, d2, e1). Событию \(B\) «слон может перейти на поле a5» благоприятствуют \(3 + 4 = 7\) полей: \(N(B) = 7\). Следовательно, \[P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{7}{64}.\]
в) Через поле c4 проходят две диагонали. Кроме самого поля c4, на одной из них лежат 5 полей (a6, b5, d3, e2, f1), на другой — 6 полей (a2, b3, d5, e6, f7, g8). Событию \(C\) «слон может перейти на поле c4» благоприятствуют \(5 + 6 = 11\) полей: \(N(C) = 11\). Следовательно, \[P(C) = \frac{N(C)}{N} = \frac{11}{64}.\]
г) Через поле d7 проходят две диагонали. Кроме самого поля d7, на одной из них лежат 5 полей (c8, e6, f5, g4, h3), на другой — 4 поля (a4, b5, c6, e8). Событию \(D\) «слон может перейти на поле d7» благоприятствуют \(5 + 4 = 9\) полей: \(N(D) = 9\). Следовательно, \[P(D) = \frac{N(D)}{N} = \frac{9}{64}.\]
д) Через поле d5 проходят две диагонали. Кроме самого поля d5, на одной из них лежат 7 полей (a8, b7, c6, e4, f3, g2, h1), на другой — 6 полей (a2, b3, c4, e6, f7, g8). Событию \(E\) «слон может перейти на поле d5» благоприятствуют \(7 + 6 = 13\) полей: \(N(E) = 13\). Следовательно, \[P(E) = \frac{N(E)}{N} = \frac{13}{64}.\]
е) Через поле g3 проходят две диагонали. Кроме самого поля g3, на одной из них лежат 6 полей (b8, c7, d6, e5, f4, h2), на другой — 3 поля (e1, f2, h4). Событию \(F\) «слон может перейти на поле g3» благоприятствуют \(6 + 3 = 9\) полей: \(N(F) = 9\). Следовательно, \[P(F) = \frac{N(F)}{N} = \frac{9}{64}.\]
Ответ: а) \(\frac{7}{64}\); б) \(\frac{7}{64}\); в) \(\frac{11}{64}\); г) \(\frac{9}{64}\); д) \(\frac{13}{64}\); е) \(\frac{9}{64}\).
