Страница 194 номер 368, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 76. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?
Таблица 76
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Число поражённых мишеней} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Результат Анны} & 2 & 15 & 6 & 5 & 1 & 1 \\ \hline \text{Результат Инны} & 4 & 23 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Результат подхода — число поражённых мишеней; числа в таблице условия показывают, сколько раз из 30 подходов получился каждый результат, поэтому каждый результат входит в среднее и в дисперсию столько раз, сколько было таких подходов. Обозначим результаты Анны \(X\), результаты Инны — \(Y\).
Средний результат Анны: \[\overline{x} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1}{30} = \frac{51}{30} = 1{,}7.\] Отклонения от среднего и их квадраты: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Результат} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число подходов} & 2 & 15 & 6 & 5 & 1 & 1 \\ \hline \text{Отклонение} & -1{,}7 & -0{,}7 & 0{,}3 & 1{,}3 & 2{,}3 & 3{,}3 \\ \hline \begin{matrix*}[l] \text{Квадрат} \\ \text{отклонения} \end{matrix*} & 2{,}89 & 0{,}49 & 0{,}09 & 1{,}69 & 5{,}29 & 10{,}89 \\ \hline \end{array}\] Сумма квадратов отклонений по всем 30 подходам: \[\begin{aligned} &2{,}89 \cdot 2 + 0{,}49 \cdot 15 + 0{,}09 \cdot 6 + 1{,}69 \cdot 5 + 5{,}29 \cdot 1 + 10{,}89 \cdot 1 = {} \\ &= 5{,}78 + 7{,}35 + 0{,}54 + 8{,}45 + 5{,}29 + 10{,}89 = 38{,}3. \end{aligned}\] \(S^2_X = \frac{38{,}3}{30} \approx 1{,}28\) — дисперсия результатов Анны.
Средний результат Инны: \[\overline{y} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 23 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{30} = \frac{30}{30} = 1.\] Отклонения от среднего и их квадраты: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Результат} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число подходов} & 4 & 23 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{Отклонение} & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \begin{matrix*}[l] \text{Квадрат} \\ \text{отклонения} \end{matrix*} & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline \end{array}\] Сумма квадратов отклонений по всем 30 подходам: \[\begin{aligned} &1 \cdot 4 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 16 \cdot 0 = {} \\ &= 4 + 0 + 2 + 4 + 0 + 0 = 10. \end{aligned}\] \(S^2_Y = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33\) — дисперсия результатов Инны.
Средний результат Анны выше (\(1{,}7 > 1\)): в среднем она поражает больше мишеней. Дисперсия результатов Инны меньше (\(\frac{10}{30} < \frac{38{,}3}{30}\)): её результаты меньше рассеяны, то есть стабильнее.
Ответ: у Анны среднее 1,7, дисперсия \(\approx 1{,}28\); у Инны среднее 1, дисперсия \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\); средний результат Анны выше, а результаты Инны стабильнее.
Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 76. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным?
Таблица 76
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Число поражённых мишеней} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Результат Анны} & 2 & 15 & 6 & 5 & 1 & 1 \\ \hline \text{Результат Инны} & 4 & 23 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Результат подхода — число поражённых мишеней, от 0 до 5. Числа в таблице условия показывают, сколько раз из 30 подходов получился каждый результат, поэтому каждый результат входит в среднее и в дисперсию столько раз, сколько было таких подходов. Обозначим результаты Анны \(X\), результаты Инны — \(Y\).
Средний результат Анны: \[\overline{x} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1}{30} = \frac{51}{30} = 1{,}7.\] Отклонения результатов Анны от среднего и их квадраты: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Результат} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число подходов} & 2 & 15 & 6 & 5 & 1 & 1 \\ \hline \text{Отклонение} & -1{,}7 & -0{,}7 & 0{,}3 & 1{,}3 & 2{,}3 & 3{,}3 \\ \hline \begin{matrix*}[l] \text{Квадрат} \\ \text{отклонения} \end{matrix*} & 2{,}89 & 0{,}49 & 0{,}09 & 1{,}69 & 5{,}29 & 10{,}89 \\ \hline \end{array}\] Каждый квадрат отклонения входит в сумму столько раз, сколько было подходов с этим результатом. Сумма квадратов отклонений по всем 30 подходам: \[\begin{aligned} &2{,}89 \cdot 2 + 0{,}49 \cdot 15 + 0{,}09 \cdot 6 + 1{,}69 \cdot 5 + 5{,}29 \cdot 1 + 10{,}89 \cdot 1 = {} \\ &= 5{,}78 + 7{,}35 + 0{,}54 + 8{,}45 + 5{,}29 + 10{,}89 = 38{,}3. \end{aligned}\] Дисперсия результатов Анны: \[S^2_X = \frac{38{,}3}{30} \approx 1{,}28.\]
Средний результат Инны: \[\overline{y} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 23 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{30} = \frac{30}{30} = 1.\] Отклонения результатов Инны от среднего и их квадраты: \[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Результат} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{Число подходов} & 4 & 23 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{Отклонение} & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \begin{matrix*}[l] \text{Квадрат} \\ \text{отклонения} \end{matrix*} & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline \end{array}\] Сумма квадратов отклонений по всем 30 подходам: \[\begin{aligned} &1 \cdot 4 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 16 \cdot 0 = {} \\ &= 4 + 0 + 2 + 4 + 0 + 0 = 10. \end{aligned}\] Дисперсия результатов Инны: \[S^2_Y = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33.\]
Средний результат Анны выше (\(1{,}7 > 1\)): в среднем она поражает больше мишеней. Дисперсия результатов Инны меньше (\(\frac{10}{30} < \frac{38{,}3}{30}\)): её результаты меньше рассеяны, то есть стабильнее.
Ответ: у Анны среднее 1,7, дисперсия \(\approx 1{,}28\); у Инны среднее 1, дисперсия \(\frac{1}{3} \approx 0{,}33\); средний результат Анны выше, а результаты Инны стабильнее.
