Страница 190 номер 363, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\), и их среднее арифметическое равно \(\overline{x}\). Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: \[(x_1 - \overline{x}) + (x_2 - \overline{x}) + (x_3 - \overline{x}) + \ldots + (x_n - \overline{x}) = 0.\]
По определению среднего арифметического \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n}\), откуда \(x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n = n\overline{x}\).
В сумме отклонений \(n\) слагаемых, и в каждом из них из числа набора вычитается \(\overline{x}\): \[\begin{aligned} &(x_1 - \overline{x}) + (x_2 - \overline{x}) + (x_3 - \overline{x}) + \ldots + (x_n - \overline{x}) = {} \\ &= (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - n\overline{x} = n\overline{x} - n\overline{x} = 0. \end{aligned}\]
Ответ: сумма отклонений чисел набора от их среднего арифметического равна нулю.
Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\), и их среднее арифметическое равно \(\overline{x}\). Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: \[(x_1 - \overline{x}) + (x_2 - \overline{x}) + (x_3 - \overline{x}) + \ldots + (x_n - \overline{x}) = 0.\]
По определению среднего арифметического \(\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n}{n}\), откуда \(x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n = n\overline{x}\).
В сумме отклонений \(n\) слагаемых, и в каждом из них из числа набора вычитается \(\overline{x}\). Сложим отдельно числа набора и отдельно \(n\) вычитаемых \(\overline{x}\): \[\begin{aligned} &(x_1 - \overline{x}) + (x_2 - \overline{x}) + (x_3 - \overline{x}) + \ldots + (x_n - \overline{x}) = {} \\ &= (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_n) - n\overline{x} = n\overline{x} - n\overline{x} = 0. \end{aligned}\]
Ответ: сумма отклонений чисел набора от их среднего арифметического равна нулю.
