Страница 178 номер 332, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Игральную кость бросают дважды. С помощью таблицы этого эксперимента (см. рис. 76, с. 167) найдите количество благоприятствующих элементарных событий и вероятность события: а) «сумма выпавших очков равна 6»; б) «сумма выпавших очков больше чем 5»; в) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором»; г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4».
В таблице номер строки — число очков при первом броске, номер столбца — при втором. Каждая клетка — элементарное событие, упорядоченная пара очков. Всего клеток \(6 \cdot 6 = 36\). Будем считать кость правильной (симметричной): тогда все 36 элементарных событий равновозможны и вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{36}\).
а) Событию \(A\) «сумма выпавших очков равна 6» благоприятствуют 5 элементарных событий: \(A = \{(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)\}\). Значит, \(P(A) = 5 \cdot \frac{1}{36} = \frac{5}{36}\).
б) Сумма очков больше 5 в двух клетках строки 1 — \((1; 5)\) и \((1; 6)\), в трёх клетках строки 2 — от \((2; 4)\) до \((2; 6)\), в четырёх клетках строки 3 — от \((3; 3)\) до \((3; 6)\), в пяти клетках строки 4 — от \((4; 2)\) до \((4; 6)\) и во всех шести клетках строк 5 и 6. Событию \(B\) «сумма выпавших очков больше чем 5» благоприятствуют \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 26\) элементарных событий, поэтому \(P(B) = 26 \cdot \frac{1}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}\).
в) При первом броске очков больше, чем при втором, в клетке \((2; 1)\) строки 2, в двух клетках строки 3 — \((3; 1)\) и \((3; 2)\), в трёх клетках строки 4 — от \((4; 1)\) до \((4; 3)\), в четырёх клетках строки 5 — от \((5; 1)\) до \((5; 4)\) и в пяти клетках строки 6 — от \((6; 1)\) до \((6; 5)\); в строке 1 таких клеток нет. Событию \(C\) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором» благоприятствуют \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\) элементарных событий, поэтому \(P(C) = 15 \cdot \frac{1}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\).
г) Событию \(D\) «очки двух бросков различаются на 4» благоприятствуют 4 элементарных события: \(D = \{(1; 5), (5; 1), (2; 6), (6; 2)\}\). Значит, \(P(D) = 4 \cdot \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
Ответ: а) 5 благоприятствующих элементарных событий, вероятность \(\frac{5}{36}\); б) 26 и \(\frac{13}{18}\); в) 15 и \(\frac{5}{12}\); г) 4 и \(\frac{1}{9}\).
Игральную кость бросают дважды. С помощью таблицы этого эксперимента (см. рис. 76, с. 167) найдите количество благоприятствующих элементарных событий и вероятность события: а) «сумма выпавших очков равна 6»; б) «сумма выпавших очков больше чем 5»; в) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором»; г) «количество очков, выпавших в первый раз, и количество очков, выпавших во второй раз, различаются на 4».
В таблице этого эксперимента номер строки — число очков при первом броске, номер столбца — при втором. Каждая клетка — элементарное событие, упорядоченная пара очков: например, \((1; 5)\) — при первом броске выпало 1 очко, при втором 5. Всего клеток \(6 \cdot 6 = 36\). Будем считать кость правильной (симметричной): тогда все 36 элементарных событий равновозможны и вероятность каждого из них равна \(\frac{1}{36}\). Вероятность события равна сумме вероятностей благоприятствующих ему элементарных событий.
а) Событию \(A\) «сумма выпавших очков равна 6» благоприятствуют 5 элементарных событий: \(A = \{(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)\}\). Значит, \(P(A) = 5 \cdot \frac{1}{36} = \frac{5}{36}\).
б) Сумма очков больше 5 в двух клетках строки 1 — \((1; 5)\) и \((1; 6)\), в трёх клетках строки 2 — от \((2; 4)\) до \((2; 6)\), в четырёх клетках строки 3 — от \((3; 3)\) до \((3; 6)\), в пяти клетках строки 4 — от \((4; 2)\) до \((4; 6)\) и во всех шести клетках строк 5 и 6. Событию \(B\) «сумма выпавших очков больше чем 5» благоприятствуют \(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 26\) элементарных событий, поэтому \(P(B) = 26 \cdot \frac{1}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}\).
в) При первом броске очков больше, чем при втором, в клетке \((2; 1)\) строки 2, в двух клетках строки 3 — \((3; 1)\) и \((3; 2)\), в трёх клетках строки 4 — от \((4; 1)\) до \((4; 3)\), в четырёх клетках строки 5 — от \((5; 1)\) до \((5; 4)\) и в пяти клетках строки 6 — от \((6; 1)\) до \((6; 5)\); в строке 1 таких клеток нет. Событию \(C\) «при первом броске выпадет больше очков, чем при втором» благоприятствуют \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\) элементарных событий, поэтому \(P(C) = 15 \cdot \frac{1}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\).
г) Событию \(D\) «очки двух бросков различаются на 4» благоприятствуют 4 элементарных события: \(D = \{(1; 5), (5; 1), (2; 6), (6; 2)\}\). Значит, \(P(D) = 4 \cdot \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\).
Ответ: а) 5 благоприятствующих элементарных событий, вероятность \(\frac{5}{36}\); б) 26 и \(\frac{13}{18}\); в) 15 и \(\frac{5}{12}\); г) 4 и \(\frac{1}{9}\).
