Страница 181 номер 339, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Бросают две игральные кости: жёлтую и зелёную. Вычислите вероятность события: а) «сумма очков на обеих костях равна 7»; б) «сумма очков на обеих костях равна 11»; в) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной»; г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2».
Элементарное событие — пара чисел: очки на жёлтой кости и очки на зелёной кости; например, \((6; 5)\) — на жёлтой кости 6 очков, на зелёной 5. На жёлтой кости может выпасть любое из 6 чисел и на зелёной — любое из 6: \(N = 6 \cdot 6 = 36\). Будем считать кости правильными (симметричными): тогда все 36 элементарных событий равновозможны.
а) Событие \(A\) «сумма очков на обеих костях равна 7»: \((1; 6)\), \((2; 5)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((5; 2)\), \((6; 1)\), \(N(A) = 6\). \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
б) Событие \(B\) «сумма очков на обеих костях равна 11»: \(B = \{(5; 6), (6; 5)\}\), \(N(B) = 2\). \[P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.\]
в) Событие \(C\) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной» — пары, в которых первое число больше второго. При 1 очке на жёлтой кости таких пар нет; при 2 очках — \((2; 1)\); при 3 очках — \((3; 1)\), \((3; 2)\); при 4 очках — \((4; 1)\), \((4; 2)\), \((4; 3)\); при 5 очках — \((5; 1)\), \((5; 2)\), \((5; 3)\), \((5; 4)\); при 6 очках — \((6; 1)\), \((6; 2)\), \((6; 3)\), \((6; 4)\), \((6; 5)\). Значит, \(N(C) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\). \[P(C) = \frac{N(C)}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.\]
г) Событие \(D\) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2» — пары, в которых числа одинаковые или различаются на 1 или на 2. Числа одинаковые в шести парах: \((1; 1)\), \((2; 2)\), \((3; 3)\), \((4; 4)\), \((5; 5)\), \((6; 6)\). Различаются на 1 в десяти парах: \((1; 2)\), \((2; 1)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\), \((5; 6)\), \((6; 5)\). Различаются на 2 в восьми парах: \((1; 3)\), \((3; 1)\), \((2; 4)\), \((4; 2)\), \((3; 5)\), \((5; 3)\), \((4; 6)\), \((6; 4)\). Значит, \(N(D) = 6 + 10 + 8 = 24\). \[P(D) = \frac{N(D)}{N} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{18}\); в) \(\frac{5}{12}\); г) \(\frac{2}{3}\).
Бросают две игральные кости: жёлтую и зелёную. Вычислите вероятность события: а) «сумма очков на обеих костях равна 7»; б) «сумма очков на обеих костях равна 11»; в) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной»; г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2».
Элементарное событие опыта — пара чисел: очки на жёлтой кости и очки на зелёной кости; например, \((6; 5)\) — на жёлтой кости 6 очков, на зелёной 5. На жёлтой кости может выпасть любое из 6 чисел и на зелёной — любое из 6, поэтому по правилу умножения \(N = 6 \cdot 6 = 36\). Будем считать кости правильными (симметричными): тогда все 36 элементарных событий равновозможны.
а) Событию \(A\) «сумма очков на обеих костях равна 7» благоприятствуют шесть элементарных событий: \((1; 6)\), \((2; 5)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((5; 2)\), \((6; 1)\), то есть \(N(A) = 6\). Следовательно, \[P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.\]
б) Событию \(B\) «сумма очков на обеих костях равна 11» благоприятствуют два элементарных события: \(B = \{(5; 6), (6; 5)\}\), \(N(B) = 2\). Следовательно, \[P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.\]
в) Событию \(C\) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной» благоприятствуют пары, в которых первое число больше второго. При 1 очке на жёлтой кости таких пар нет; при 2 очках — \((2; 1)\); при 3 очках — \((3; 1)\), \((3; 2)\); при 4 очках — \((4; 1)\), \((4; 2)\), \((4; 3)\); при 5 очках — \((5; 1)\), \((5; 2)\), \((5; 3)\), \((5; 4)\); при 6 очках — \((6; 1)\), \((6; 2)\), \((6; 3)\), \((6; 4)\), \((6; 5)\). Значит, \(N(C) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\) и \[P(C) = \frac{N(C)}{N} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.\]
г) Событию \(D\) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2» благоприятствуют пары, в которых числа одинаковые или различаются на 1 или на 2. Числа одинаковые в шести парах: \((1; 1)\), \((2; 2)\), \((3; 3)\), \((4; 4)\), \((5; 5)\), \((6; 6)\). Различаются на 1 в десяти парах: \((1; 2)\), \((2; 1)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\), \((5; 6)\), \((6; 5)\). Различаются на 2 в восьми парах: \((1; 3)\), \((3; 1)\), \((2; 4)\), \((4; 2)\), \((3; 5)\), \((5; 3)\), \((4; 6)\), \((6; 4)\). Значит, \(N(D) = 6 + 10 + 8 = 24\) и \[P(D) = \frac{N(D)}{N} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{18}\); в) \(\frac{5}{12}\); г) \(\frac{2}{3}\).
