Страница 194 номер 365, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше? а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.
В каждом пункте обозначим первый набор \(X\), второй — \(Y\).
а) Отметим наборы на числовой прямой: набор \(X\) — прямая с номером 1, набор \(Y\) — с номером 2.
Средние арифметические: \(\overline{x} = \frac{2 + 3 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4\);
\(\overline{y} = \frac{1 + 2 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2\). Отклонения чисел набора \(X\) от среднего: \(2 - 4 = -2\);
\(3 - 4 = -1\);
\(7 - 4 = 3\). Отклонения чисел набора \(Y\): \(1 - 2 = -1\);
\(2 - 2 = 0\);
\(3 - 2 = 1\). Дисперсии наборов:
\[\begin{aligned} S^2_X &= \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2}{3} = \frac{4 + 1 + 9}{3} = \frac{14}{3}; \\ S^2_Y &= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\]
Так как \(\frac{14}{3} > \frac{2}{3}\), дисперсия первого набора больше.
б) Отметим наборы на числовой прямой.
Средние арифметические: \(\overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\);
\(\overline{y} = \frac{1 + 5 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5\). Отклонения чисел набора \(X\) от среднего: \(2 - 4 = -2\);
\(3 - 4 = -1\);
\(4 - 4 = 0\);
\(7 - 4 = 3\). Отклонения чисел набора \(Y\): \(1 - 5 = -4\);
\(5 - 5 = 0\);
\(6 - 5 = 1\);
\(8 - 5 = 3\). Дисперсии наборов:
\[\begin{aligned} S^2_X &= \frac{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 3^2}{4} = \frac{4 + 1 + 0 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3{,}5; \\ S^2_Y &= \frac{(-4)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2}{4} = \frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = \frac{26}{4} = 6{,}5. \end{aligned}\]
Так как \(3{,}5 < 6{,}5\), дисперсия второго набора больше.
Ответ: а) дисперсии \(\frac{14}{3}\) и \(\frac{2}{3}\), больше дисперсия первого набора; б) дисперсии \(3{,}5\) и \(6{,}5\), больше дисперсия второго набора.
