Страница 182 номер 350, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
У Андрея в правом кармане брюк шесть монет — две из них по 10 р., а четыре монеты по 2 р. На ощупь монеты неразличимы. Андрей достаёт из правого кармана три случайно выбранные монеты и перекладывает их в левый карман. Найдите вероятность того, что обе 10-рублёвые монеты окажутся: а) в одном кармане; б) в левом кармане.
10-рублёвые монеты — А и Б, 2-рублёвые — В, Г, Д и Е.
Элементарное событие — тройка монет, переложенных в левый карман. Первой Андрей может достать любую из 6 монет, второй — любую из 5 оставшихся, третьей — любую из 4 оставшихся: \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) вариантов. Но в левом кармане важно, какие монеты там оказались, а не порядок, в котором их достали: каждая тройка монет посчитана столько раз, сколькими способами можно упорядочить три монеты, то есть \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) раз. Значит, различных троек \(N = 120 : 6 = 20\). Монеты на ощупь неразличимы, и Андрей выбирает их случайно, поэтому все 20 элементарных событий равновозможны.
а) Обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане, если они обе в левом кармане или обе в правом. Обе в левом — в тройку попали А, Б и одна из четырёх 2-рублёвых: АБВ, АБГ, АБД, АБЕ — 4 тройки. Обе в правом — в левый карман переложены три 2-рублёвые монеты: ВГД, ВГЕ, ВДЕ, ГДЕ — тоже 4 тройки. Событие \(K\) «обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане»: \(N(K) = 4 + 4 = 8\). \[P(K) = \frac{N(K)}{N} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4.\]
б) Событие \(L\) «обе 10-рублёвые монеты окажутся в левом кармане»: тройки АБВ, АБГ, АБД, АБЕ, \(N(L) = 4\). \[P(L) = \frac{N(L)}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2.\]
Ответ: а) \(0{,}4\); б) \(0{,}2\).
У Андрея в правом кармане брюк шесть монет — две из них по 10 р., а четыре монеты по 2 р. На ощупь монеты неразличимы. Андрей достаёт из правого кармана три случайно выбранные монеты и перекладывает их в левый карман. Найдите вероятность того, что обе 10-рублёвые монеты окажутся: а) в одном кармане; б) в левом кармане.
Обозначим 10-рублёвые монеты буквами А и Б, а 2-рублёвые — буквами В, Г, Д и Е.
Элементарное событие — тройка монет, переложенных в левый карман. Первой Андрей может достать любую из 6 монет, второй — любую из 5 оставшихся, третьей — любую из 4 оставшихся: по правилу умножения получается \(6 \cdot 5 \cdot 4 = 120\) вариантов. Но в левом кармане важно, какие монеты там оказались, а не порядок, в котором их достали: каждая тройка монет посчитана столько раз, сколькими способами можно упорядочить три монеты, то есть \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) раз. Значит, различных троек \(N = 120 : 6 = 20\). Монеты на ощупь неразличимы, и Андрей выбирает их случайно, поэтому все 20 элементарных событий равновозможны.
а) Обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане, если они обе в левом кармане или обе в правом. Обе в левом — значит, в тройку попали монеты А, Б и одна из четырёх 2-рублёвых: АБВ, АБГ, АБД, АБЕ — 4 тройки. Обе в правом — значит, в левый карман переложены три 2-рублёвые монеты: ВГД, ВГЕ, ВДЕ, ГДЕ — тоже 4 тройки. Событию \(K\) «обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане» благоприятствуют \(4 + 4 = 8\) элементарных событий: \(N(K) = 8\). Следовательно, \[P(K) = \frac{N(K)}{N} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4.\]
б) Событию \(L\) «обе 10-рублёвые монеты окажутся в левом кармане» благоприятствуют 4 элементарных события — тройки АБВ, АБГ, АБД, АБЕ: \(N(L) = 4\). Следовательно, \[P(L) = \frac{N(L)}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0{,}2.\]
Ответ: а) \(0{,}4\); б) \(0{,}2\).
