Страница 183 номер 351, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
В городе \(N\) пять улиц. При этом две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром двое постовых случайным образом встали на два разных перекрёстка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.
Улицы с севера на юг — 1 и 2, с запада на восток — А, Б и В. Каждая улица одного направления пересекает каждую улицу другого направления, поэтому перекрёстков \(2 \cdot 3 = 6\): А1, А2, Б1, Б2, В1, В2 (перекрёсток назван буквой и номером улиц, которые в нём пересекаются).
Элементарное событие — пара (перекрёсток первого постового, перекрёсток второго постового). Первый постовой может стоять на любом из 6 перекрёстков, второй — на любом из 5 оставшихся: \(N = 6 \cdot 5 = 30\). Постовые встали на перекрёстки случайным образом, поэтому все 30 элементарных событий равновозможны.
Два разных перекрёстка лежат на одной улице, если у них общий номер (общая улица, идущая с севера на юг) или общая буква (общая улица, идущая с запада на восток). Общими и номер, и буква быть не могут: две улицы пересекаются только в одном перекрёстке, поэтому ни одна пара не попадёт в подсчёт дважды.
Пар с общим номером: номер — любой из 2, буква у перекрёстка первого постового — любая из 3, у перекрёстка второго — любая из 2 оставшихся, всего \(2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\). Пар с общей буквой: буква — любая из 3, номер у перекрёстка первого постового — любой из 2, у перекрёстка второго — оставшийся, всего \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\).
Событие \(M\) «постовые стоят на одной улице»: \(N(M) = 12 + 6 = 18\). \[P(M) = \frac{N(M)}{N} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0{,}6.\]
Ответ: \(0{,}6\).
В городе \(N\) пять улиц. При этом две из них идут параллельно друг другу с севера на юг, а остальные проходят параллельно друг другу с запада на восток. Любые две улицы разных направлений пересекаются. Утром двое постовых случайным образом встали на два разных перекрёстка. Найдите вероятность того, что они стоят на одной улице.
Обозначим улицы, идущие с севера на юг, номерами 1 и 2, а улицы, идущие с запада на восток, — буквами А, Б и В. Каждая улица одного направления пересекает каждую улицу другого направления, поэтому перекрёстков \(2 \cdot 3 = 6\): А1, А2, Б1, Б2, В1, В2 (перекрёсток назван буквой и номером улиц, которые в нём пересекаются).
Элементарное событие — пара (перекрёсток первого постового, перекрёсток второго постового). Первый постовой может стоять на любом из 6 перекрёстков, второй — на любом из 5 оставшихся, поэтому по правилу умножения \(N = 6 \cdot 5 = 30\). Постовые встали на перекрёстки случайным образом, поэтому все 30 элементарных событий равновозможны.
Два разных перекрёстка лежат на одной улице, если у них общий номер (общая улица, идущая с севера на юг) или общая буква (общая улица, идущая с запада на восток). Например, на улице 1 лежат перекрёстки А1, Б1, В1, а на улице А — перекрёстки А1 и А2. Общими и номер, и буква быть не могут: две улицы пересекаются только в одном перекрёстке. Поэтому ни одна пара не попадёт в подсчёт дважды.
Пар с общим номером: номер — любой из 2, буква у перекрёстка первого постового — любая из 3, у перекрёстка второго — любая из 2 оставшихся, всего \(2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\). Пар с общей буквой: буква — любая из 3, номер у перекрёстка первого постового — любой из 2, у перекрёстка второго — оставшийся, всего \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\).
Событию \(M\) «постовые стоят на одной улице» благоприятствуют \(12 + 6 = 18\) элементарных событий: \(N(M) = 18\). Следовательно, \[P(M) = \frac{N(M)}{N} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0{,}6.\]
Ответ: \(0{,}6\).
