Страница 194 номер 367, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень

В каждом пункте обозначим первый набор \(X\), второй — \(Y\).

а) Отметим числа на числовой прямой: набор \(X\) — прямая с номером 1, набор \(Y\) — с номером 2.

На глаз точки второго набора расположены так же, как точки первого, только сдвинуты вправо на 4: рассеивание у наборов одинаковое.

Проверим, вычислив дисперсии. Средние арифметические: \(\overline{x} = \frac{2 + 3 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3\);
\(\overline{y} = \frac{6 + 7 + 8}{3} = \frac{21}{3} = 7\). Отклонения чисел набора \(X\) от среднего: \(2 - 3 = -1\);
\(3 - 3 = 0\);
\(4 - 3 = 1\). Отклонения чисел набора \(Y\): \(6 - 7 = -1\);
\(7 - 7 = 0\);
\(8 - 7 = 1\). Дисперсии наборов: \[\begin{aligned} S^2_X &= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}; \\ S^2_Y &= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3}. \end{aligned}\] Дисперсии равны — оценка на глаз подтвердилась.

б) Отметим числа на числовой прямой.

На глаз точки второго набора стоят так же, как точки первого, — через 2 единицы, только сдвинуты вправо на 9: рассеивание у наборов одинаковое.

Проверим, вычислив дисперсии. Средние арифметические: \(\overline{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6\);
\(\overline{y} = \frac{12 + 14 + 16 + 18}{4} = \frac{60}{4} = 15\). Отклонения чисел набора \(X\) от среднего: \(3 - 6 = -3\);
\(5 - 6 = -1\);
\(7 - 6 = 1\);
\(9 - 6 = 3\). Отклонения чисел набора \(Y\): \(12 - 15 = -3\);
\(14 - 15 = -1\);
\(16 - 15 = 1\);
\(18 - 15 = 3\). Дисперсии наборов: \[\begin{aligned} S^2_X &= \frac{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5; \\ S^2_Y &= \frac{(-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2}{4} = \frac{9 + 1 + 1 + 9}{4} = \frac{20}{4} = 5. \end{aligned}\] Дисперсии равны — оценка на глаз подтвердилась.

Ответ: а) рассеивание одинаковое: дисперсии обоих наборов равны \(\frac{2}{3}\); б) рассеивание одинаковое: дисперсии обоих наборов равны 5.