Страница 55 номер 6.9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 2x = 2x + 12, \\ 2x + 12 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 4x - 12 = 0\);
\(x = -2\) или \(x = 6\). Условию \(2x + 12 > 0\), то есть \(x > -6\), удовлетворяют оба числа, значит, оба они — корни уравнения.
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x - 1 = x^{2} - x - 16, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 2x - 15 = 0\);
\(x = -3\) или \(x = 5\). Условию \(x > 1\) удовлетворяет только 5.
3) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 3x - 10 = x - 2, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} + 2x - 8 = 0\);
\(x = -4\) или \(x = 2\). Условию \(x > 2\) не удовлетворяет ни одно из них, поэтому корней нет.
4) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - x - 2 = 2 - x, \\ 2 - x > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} = 4\);
\(x = -2\) или \(x = 2\). Условию \(x < 2\) удовлетворяет только \(-2\).
5) Выражение \(2\log_{0{,}4} x\) определено при \(x > 0\), и там \(2\log_{0{,}4} x = \log_{0{,}4} x^{2}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = 2x^{2} - x, \\ x > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - x = 0\);
\(x = 0\) или \(x = 1\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только 1.
6) Выражение \(2\log_{7}(-x)\) определено при \(-x > 0\), то есть при \(x < 0\), и там \(2\log_{7}(-x) = \log_{7}(-x)^{2} = \log_{7} x^{2}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = x + 2, \\ x < 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - x - 2 = 0\);
\(x = -1\) или \(x = 2\). Условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(-1\).
7) Выражение \(2\log_{8}(1 - x)\) определено при \(1 - x > 0\), то есть при \(x < 1\), и там \(2\log_{8}(1 - x) = \log_{8}(1 - x)^{2}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (1 - x)^{2} = 2{,}5x + 1, \\ x < 1. \end{cases}\]
\(1 - 2x + x^{2} = 2{,}5x + 1\);
\(x^{2} - 4{,}5x = 0\);
\(x(x - 4{,}5) = 0\);
\(x = 0\) или \(x = 4{,}5\). Условию \(x < 1\) удовлетворяет только 0.
8) Выражение \(2\log_{3} x\) определено при \(x > 0\), и там \(2\log_{3} x = \log_{3} x^{2}\), а правая часть равна \(\log_{3} 3 + \log_{3}(x + 6) = \log_{3}(3(x + 6))\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = 3(x + 6), \\ x > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 3x - 18 = 0\);
\(x = -3\) или \(x = 6\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только 6.
Ответ: 1) \(-2\); 6; 2) 5; 3) корней нет; 4) \(-2\); 5) 1; 6) \(-1\); 7) 0; 8) 6.
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - 2x = 2x + 12, \\ 2x + 12 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 4x - 12 = 0\) получаем \(x = -2\) или \(x = 6\). Неравенство \(2x + 12 > 0\), то есть \(x > -6\), выполняется при каждом из этих чисел, значит, оба они — корни уравнения.
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x - 1 = x^{2} - x - 16, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 2x - 15 = 0\) получаем \(x = -3\) или \(x = 5\). Условию \(x > 1\) удовлетворяет только 5.
3) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 3x - 10 = x - 2, \\ x - 2 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} + 2x - 8 = 0\) получаем \(x = -4\) или \(x = 2\). Условию \(x > 2\) не удовлетворяет ни одно из этих чисел, поэтому система решений не имеет.
4) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} - x - 2 = 2 - x, \\ 2 - x > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} = 4\) получаем \(x = -2\) или \(x = 2\). Условию \(x < 2\) удовлетворяет только \(-2\).
5) Выражение \(2\log_{0{,}4} x\) определено при \(x > 0\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{0{,}4} x = \log_{0{,}4} x^{2}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = 2x^{2} - x, \\ x > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - x = 0\) получаем \(x = 0\) или \(x = 1\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только 1.
6) Выражение \(2\log_{7}(-x)\) определено при \(-x > 0\), то есть при \(x < 0\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{7}(-x) = \log_{7}(-x)^{2} = \log_{7} x^{2}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = x + 2, \\ x < 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - x - 2 = 0\) получаем \(x = -1\) или \(x = 2\). Условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(-1\).
7) Выражение \(2\log_{8}(1 - x)\) определено при \(1 - x > 0\), то есть при \(x < 1\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{8}(1 - x) = \log_{8}(1 - x)^{2}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (1 - x)^{2} = 2{,}5x + 1, \\ x < 1. \end{cases}\]
Из уравнения \(1 - 2x + x^{2} = 2{,}5x + 1\) получаем \(x^{2} - 4{,}5x = 0\);
\(x(x - 4{,}5) = 0\);
\(x = 0\) или \(x = 4{,}5\). Условию \(x < 1\) удовлетворяет только 0.
8) Выражение \(2\log_{3} x\) определено при \(x > 0\); при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{3} x = \log_{3} x^{2}\), а правая часть равна \(\log_{3} 3 + \log_{3}(x + 6) = \log_{3}(3(x + 6))\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} = 3(x + 6), \\ x > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 3x - 18 = 0\) получаем \(x = -3\) или \(x = 6\). Условию \(x > 0\) удовлетворяет только 6.
Ответ: 1) \(-2\); 6; 2) 5; 3) корней нет; 4) \(-2\); 5) 1; 6) \(-1\); 7) 0; 8) 6.
