Страница 54 номер 6.2, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{5}}(x + 7) = -3\); 2) \(\log_{4}(2x - 5) = 0{,}5\); 3) \(\log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2\); 4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) = -1\).
1) \(x + 7 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\); \(x + 7 = 125\); \(x = 118\).
2) \(2x - 5 = 4^{0{,}5}\); \(2x - 5 = 2\); \(2x = 7\); \(x = 3{,}5\).
3) \(x^{2} - 5x - 3 = \left(\sqrt{3}\right)^{2}\); \(x^{2} - 5x - 3 = 3\); \(x^{2} - 5x - 6 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 6\). При каждом из них выражение \(x^{2} - 5x - 3\) равно 3: оба числа — корни уравнения.
4) \(x^{2} - 5x + 6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\); \(x^{2} - 5x + 6 = 2\); \(x^{2} - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\). Оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 118; 2) \(3{,}5\); 3) \(-1\); 6; 4) 1; 4.
Решите уравнение: 1) \(\log_{\frac{1}{5}}(x + 7) = -3\); 2) \(\log_{4}(2x - 5) = 0{,}5\); 3) \(\log_{\sqrt{3}}(x^2 - 5x - 3) = 2\); 4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 6) = -1\).
Уравнение вида \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\), и условие положительности выражения под знаком логарифма выполняется при этом само собой.
1) Имеем: \(x + 7 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}\); \(x + 7 = 125\); \(x = 118\).
2) Имеем: \(2x - 5 = 4^{0{,}5}\); \(2x - 5 = 2\); \(2x = 7\); \(x = 3{,}5\).
3) Имеем: \(x^{2} - 5x - 3 = \left(\sqrt{3}\right)^{2}\); \(x^{2} - 5x - 3 = 3\); \(x^{2} - 5x - 6 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 6\). Оба числа — корни уравнения: при каждом из них выражение \(x^{2} - 5x - 3\) равно 3.
4) Имеем: \(x^{2} - 5x + 6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\); \(x^{2} - 5x + 6 = 2\); \(x^{2} - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\). Оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 118; 2) \(3{,}5\); 3) \(-1\); 6; 4) 1; 4.
