Страница 58 номер 6.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).

Числа \(x^{\log_2 10}\) и \(10^{\log_2 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 2 равны: \[\log_2 x^{\log_2 10} = \log_2 10 \cdot \log_2 x, \qquad \log_2 10^{\log_2 x} = \log_2 x \cdot \log_2 10.\]

Значит, \(x^{\log_2 10} = 10^{\log_2 x}\), и уравнение принимает вид \[2 \cdot 10^{\log_2 x} = 200; \qquad 10^{\log_2 x} = 10^2.\]

Показательная функция с основанием 10 возрастающая, поэтому \(\log_2 x = 2\). Отсюда \(x = 4\).

2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).

Числа \(x^{\log_7 x}\) и \(7^{\log_7^2 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 7 равны: \[\log_7 x^{\log_7 x} = \log_7 x \cdot \log_7 x = \log_7^2 x, \qquad \log_7 7^{\log_7^2 x} = \log_7^2 x.\]

Значит, \(x^{\log_7 x} = 7^{\log_7^2 x}\), и уравнение принимает вид \[2 \cdot 7^{\log_7^2 x} = 14; \qquad 7^{\log_7^2 x} = 7^1.\]

Отсюда \(\log_7^2 x = 1\); \(\log_7 x = -1\) или \(\log_7 x = 1\). Получаем: \(x = \frac{1}{7}\) или \(x = 7\).

Ответ: 1) 4; 2) \(\frac{1}{7}\); 7.