Страница 57 номер 6.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(x - 5)^2 - 2\log_{2}(x + 2) = 2\); 2) \(\frac{1}{2}\lg x^2 + \lg(x + 7) = 1\).
1) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} (x - 5)^2 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -2\) и \(x \ne 5\).
Переход от \(\log_2(x - 5)^2\) к \(2\log_2(x - 5)\) сузил бы область определения и привёл бы к потере корней; на самом деле \(\log_2(x - 5)^2 = 2\log_2|x - 5|\), поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_2|x - 5| - \log_2(x + 2) = 1\).
Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ \log_2(5 - x) - \log_2(x + 2) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ \log_2(x - 5) - \log_2(x + 2) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Отсюда \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ \frac{5 - x}{x + 2} = 2, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ \frac{x - 5}{x + 2} = 2; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ x = \frac{1}{3}, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ x = -9. \end{cases} \end{array}\right.\]
Вторая система решений не имеет. Получаем: \(x = \frac{1}{3}\).
2) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ x + 7 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -7\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{2}\lg x^2 = \lg|x|\), уравнение равносильно уравнению \(\lg|x| + \lg(x + 7) = 1\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ \lg(-x) + \lg(x + 7) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ \lg x + \lg(x + 7) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Отсюда \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ -x(x + 7) = 10, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x(x + 7) = 10; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ x^2 + 7x + 10 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x^2 + 7x - 10 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения \(-5\) и \(-2\) принадлежат промежутку \((-7;\ 0)\). Корни второго уравнения — числа \(\frac{-7 - \sqrt{89}}{2}\) и \(\frac{\sqrt{89} - 7}{2}\), из них условию \(x > 0\) удовлетворяет только второе.
Получаем: \(x = -5\), \(x = -2\) или \(x = \frac{\sqrt{89} - 7}{2}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(-5\); \(-2\); \(\frac{\sqrt{89} - 7}{2}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(x - 5)^2 - 2\log_{2}(x + 2) = 2\); 2) \(\frac{1}{2}\lg x^2 + \lg(x + 7) = 1\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} (x - 5)^2 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -2\) и \(x \ne 5\).
Переход от \(\log_2(x - 5)^2\) к \(2\log_2(x - 5)\) сузил бы область определения и привёл бы к потере корней. На самом деле \(\log_2(x - 5)^2 = 2\log_2|x - 5|\), поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(2\log_2|x - 5| - 2\log_2(x + 2) = 2\), то есть уравнению \(\log_2|x - 5| - \log_2(x + 2) = 1\).
Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ \log_2(5 - x) - \log_2(x + 2) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ \log_2(x - 5) - \log_2(x + 2) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Далее имеем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ \frac{5 - x}{x + 2} = 2, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ \frac{x - 5}{x + 2} = 2; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -2 < x < 5, \\ x = \frac{1}{3}, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 5, \\ x = -9. \end{cases} \end{array}\right.\]
Вторая система решений не имеет. Получаем: \(x = \frac{1}{3}\).
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ x + 7 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -7\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{2}\lg x^2 = \lg|x|\), данное уравнение равносильно уравнению \(\lg|x| + \lg(x + 7) = 1\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ \lg(-x) + \lg(x + 7) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ \lg x + \lg(x + 7) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Далее имеем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ -x(x + 7) = 10, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x(x + 7) = 10; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -7 < x < 0, \\ x^2 + 7x + 10 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x^2 + 7x - 10 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения \(-5\) и \(-2\) принадлежат промежутку \((-7;\ 0)\). Корни второго уравнения — числа \(\frac{-7 - \sqrt{89}}{2}\) и \(\frac{\sqrt{89} - 7}{2}\), из них условию \(x > 0\) удовлетворяет только второе.
Получаем: \(x = -5\), \(x = -2\) или \(x = \frac{\sqrt{89} - 7}{2}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(-5\); \(-2\); \(\frac{\sqrt{89} - 7}{2}\).
