Страница 56 номер 6.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(3\log_{8}^{2}(-x) - 2\log_{8}(-x) - 1 = 0\); 2) \(2\log_{7} \sqrt{x} = \log_{7}^{2} x - 6\); 3) \(3\log_{3} x + 3\log_{x} 3 = 10\); 4) \(\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1\).
1) Выражение \(\log_8(-x)\) определено при \(-x > 0\), поэтому ОДЗ — множество \((-\infty;\ 0)\).
Пусть \(\log_8(-x) = t\); тогда \(3t^2 - 2t - 1 = 0\); \(t = -\frac{1}{3}\) или \(t = 1\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_8(-x) = -\frac{1}{3}, \\ \log_8(-x) = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} -x = 8^{-\frac{1}{3}}, \\ -x = 8; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = -\frac{1}{2}, \\ x = -8. \end{array}\right.\)
Оба числа отрицательны, то есть принадлежат ОДЗ.
2) ОДЗ: \(x > 0\); на нём \(2\log_7 \sqrt{x} = 2\log_7 x^{\frac{1}{2}} = \log_7 x\), и уравнение принимает вид \(\log_7 x = \log_7^2 x - 6\).
Пусть \(\log_7 x = t\); тогда \(t = t^2 - 6\); \(t^2 - t - 6 = 0\); \(t = -2\) или \(t = 3\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_7 x = -2, \\ \log_7 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{49}, \\ x = 343. \end{array}\right.\)
3) Основанием второго логарифма служит \(x\), поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Так как \(\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}\), положим \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\); тогда \(3t + \frac{3}{t} = 10\); \(3t^2 - 10t + 3 = 0\); \(t = \frac{1}{3}\) или \(t = 3\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = \frac{1}{3}, \\ \log_3 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \sqrt[3]{3}, \\ x = 27. \end{array}\right.\)
4) Логарифм стоит в знаменателях дробей, поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ \lg x \ne -2, \\ \lg x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\lg x = t\), где \(t \ne -2\) и \(t \ne 1\); тогда \(\frac{t}{t + 2} - \frac{2}{t - 1} = 1\); \(t(t - 1) - 2(t + 2) = (t + 2)(t - 1)\); \(t^2 - 3t - 4 = t^2 + t - 2\); \(-4t = 2\); \(t = -\frac{1}{2}\) — значение допустимо, поэтому \(\lg x = -\frac{1}{2}\); \(x = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\).
Ответ: 1) \(-8\); \(-\frac{1}{2}\); 2) \(\frac{1}{49}\); 343; 3) \(\sqrt[3]{3}\); 27; 4) \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
Решите уравнение: 1) \(3\log_{8}^{2}(-x) - 2\log_{8}(-x) - 1 = 0\); 2) \(2\log_{7} \sqrt{x} = \log_{7}^{2} x - 6\); 3) \(3\log_{3} x + 3\log_{x} 3 = 10\); 4) \(\frac{\lg x}{\lg x + 2} - \frac{2}{\lg x - 1} = 1\).
1) Выражение \(\log_8(-x)\) определено при \(-x > 0\), поэтому область определения уравнения — множество \((-\infty;\ 0)\).
Пусть \(\log_8(-x) = t\). Тогда \(3t^2 - 2t - 1 = 0\); \(t = -\frac{1}{3}\) или \(t = 1\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_8(-x) = -\frac{1}{3}, \\ \log_8(-x) = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} -x = 8^{-\frac{1}{3}}, \\ -x = 8; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = -\frac{1}{2}, \\ x = -8. \end{array}\right.\)
Оба числа отрицательны, то есть принадлежат области определения.
2) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(2\log_7 \sqrt{x} = 2\log_7 x^{\frac{1}{2}} = \log_7 x\), и уравнение принимает вид \(\log_7 x = \log_7^2 x - 6\).
Пусть \(\log_7 x = t\). Тогда \(t = t^2 - 6\); \(t^2 - t - 6 = 0\); \(t = -2\) или \(t = 3\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_7 x = -2, \\ \log_7 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{49}, \\ x = 343. \end{array}\right.\)
3) Основанием второго логарифма служит \(x\), поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
По формуле перехода к другому основанию \(\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}\). Пусть \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(3t + \frac{3}{t} = 10\); \(3t^2 - 10t + 3 = 0\); \(t = \frac{1}{3}\) или \(t = 3\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = \frac{1}{3}, \\ \log_3 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \sqrt[3]{3}, \\ x = 27. \end{array}\right.\)
4) Логарифм стоит в знаменателях дробей, поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ \lg x \ne -2, \\ \lg x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\lg x = t\), где \(t \ne -2\) и \(t \ne 1\). Тогда \(\frac{t}{t + 2} - \frac{2}{t - 1} = 1\); \(t(t - 1) - 2(t + 2) = (t + 2)(t - 1)\); \(t^2 - 3t - 4 = t^2 + t - 2\); \(-4t = 2\); \(t = -\frac{1}{2}\). Это значение допустимо, поэтому \(\lg x = -\frac{1}{2}\); \(x = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\).
Ответ: 1) \(-8\); \(-\frac{1}{2}\); 2) \(\frac{1}{49}\); 343; 3) \(\sqrt[3]{3}\); 27; 4) \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).
