Страница 57 номер 6.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{4}\log_{2} x^4 + \log_{2}(x + 10) = 3 + \log_{2} 3\); 2) \(\frac{1}{2}\log_{6} x^2 + \log_{6}(5 - x) = 1\).
1) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x^4 > 0, \\ x + 10 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -10\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{4}\log_2 x^4 = \log_2|x|\), а \(3 + \log_2 3 = \log_2 8 + \log_2 3 = \log_2 24\), уравнение равносильно уравнению \(\log_2|x| + \log_2(x + 10) = \log_2 24\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ \log_2(-x) + \log_2(x + 10) = \log_2 24, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x + \log_2(x + 10) = \log_2 24. \end{cases} \end{array}\right.\]
Отсюда \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ -x(x + 10) = 24, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x(x + 10) = 24; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ x^2 + 10x + 24 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x^2 + 10x - 24 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения \(-6\) и \(-4\) принадлежат промежутку \((-10;\ 0)\). Корни второго уравнения — числа \(-12\) и 2, из них условию \(x > 0\) удовлетворяет только 2.
Получаем: \(x = -6\), \(x = -4\) или \(x = 2\).
2) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ 5 - x > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x < 5\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{2}\log_6 x^2 = \log_6|x|\), уравнение равносильно уравнению \(\log_6|x| + \log_6(5 - x) = 1\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ \log_6(-x) + \log_6(5 - x) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ \log_6 x + \log_6(5 - x) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Отсюда \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ -x(5 - x) = 6, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ x(5 - x) = 6; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ x^2 - 5x - 6 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ x^2 - 5x + 6 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения — числа \(-1\) и 6, из них условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(-1\). Корни второго уравнения 2 и 3 принадлежат промежутку \((0;\ 5)\).
Получаем: \(x = -1\), \(x = 2\) или \(x = 3\).
Ответ: 1) \(-6\); \(-4\); 2; 2) \(-1\); 2; 3.
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{4}\log_{2} x^4 + \log_{2}(x + 10) = 3 + \log_{2} 3\); 2) \(\frac{1}{2}\log_{6} x^2 + \log_{6}(5 - x) = 1\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^4 > 0, \\ x + 10 > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > -10\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{4}\log_2 x^4 = \log_2|x|\), а \(3 + \log_2 3 = \log_2 8 + \log_2 3 = \log_2 24\), данное уравнение равносильно уравнению \(\log_2|x| + \log_2(x + 10) = \log_2 24\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ \log_2(-x) + \log_2(x + 10) = \log_2 24, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x + \log_2(x + 10) = \log_2 24. \end{cases} \end{array}\right.\]
Далее имеем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ -x(x + 10) = 24, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x(x + 10) = 24; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} -10 < x < 0, \\ x^2 + 10x + 24 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} x > 0, \\ x^2 + 10x - 24 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения \(-6\) и \(-4\) принадлежат промежутку \((-10;\ 0)\). Корни второго уравнения — числа \(-12\) и 2, из них условию \(x > 0\) удовлетворяет только 2.
Получаем: \(x = -6\), \(x = -4\) или \(x = 2\).
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ 5 - x > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x < 5\) и \(x \ne 0\).
Так как \(\frac{1}{2}\log_6 x^2 = \log_6|x|\), данное уравнение равносильно уравнению \(\log_6|x| + \log_6(5 - x) = 1\). Раскрывая модуль, получаем совокупность двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ \log_6(-x) + \log_6(5 - x) = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ \log_6 x + \log_6(5 - x) = 1. \end{cases} \end{array}\right.\]
Далее имеем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ -x(5 - x) = 6, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ x(5 - x) = 6; \end{cases} \end{array}\right. \qquad \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x < 0, \\ x^2 - 5x - 6 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} 0 < x < 5, \\ x^2 - 5x + 6 = 0. \end{cases} \end{array}\right.\]
Корни первого квадратного уравнения — числа \(-1\) и 6, из них условию \(x < 0\) удовлетворяет только \(-1\). Корни второго уравнения 2 и 3 принадлежат промежутку \((0;\ 5)\).
Получаем: \(x = -1\), \(x = 2\) или \(x = 3\).
Ответ: 1) \(-6\); \(-4\); 2; 2) \(-1\); 2; 3.
