Страница 48 номер 5.38, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наименьшее значение функции: 1) \(y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^2 + 8}\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x^2 - 4x + 7}\).
1) Выражение \(x^{2} + 8\) положительно при всех значениях переменной, поэтому дробь \(\frac{1}{x^{2} + 8}\) положительна и область определения — \(\mathbf{R}\).
Так как \(x^{2} \geqslant 0\), то \(x^{2} + 8 \geqslant 8\), причём равенство только при \(x = 0\). Чем больше положительный знаменатель, тем меньше дробь, поэтому \(\frac{1}{x^{2} + 8} \leqslant \frac{1}{8}\) — это и есть наибольшее значение выражения под знаком логарифма.
Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы — функция убывающая: чем больше выражение под знаком логарифма, тем меньше значение функции. Значит, наименьшее значение достигается при \(x = 0\) и равно \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = 3\), так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}\).
2) \(x^{2} - 4x + 7 = (x - 2)^{2} + 3\) — выражение положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения — \(\mathbf{R}\).
Так как \((x - 2)^{2} \geqslant 0\), то \((x - 2)^{2} + 3 \geqslant 3\), причём равенство только при \(x = 2\). Отсюда \(\frac{1}{(x - 2)^{2} + 3} \leqslant \frac{1}{3}\): наибольшее значение выражения под знаком логарифма равно \(\frac{1}{3}\).
Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы — функция убывающая, поэтому наименьшее значение достигается при \(x = 2\) и равно \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1\).
Ответ: 1) 3; 2) 1.
Найдите наименьшее значение функции: 1) \(y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^2 + 8}\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x^2 - 4x + 7}\).
1) Выражение \(x^{2} + 8\) положительно при всех значениях переменной, поэтому дробь \(\frac{1}{x^{2} + 8}\) положительна и область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Так как \(x^{2} \geqslant 0\), то \(x^{2} + 8 \geqslant 8\), причём равенство достигается только при \(x = 0\). Чем больше положительный знаменатель, тем меньше дробь, поэтому \(\frac{1}{x^{2} + 8} \leqslant \frac{1}{8}\), и наибольшее значение выражения под знаком логарифма равно \(\frac{1}{8}\).
Основание \(\frac{1}{2}\) меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывающая: чем больше выражение под знаком логарифма, тем меньше значение функции. Следовательно, наименьшее значение данной функции достигается при \(x = 0\) и равно \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}\). Так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}\), то \(\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = 3\).
2) Выделим квадрат двучлена: \(x^{2} - 4x + 7 = (x - 2)^{2} + 3\). Это выражение положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Так как \((x - 2)^{2} \geqslant 0\), то \((x - 2)^{2} + 3 \geqslant 3\), причём равенство достигается только при \(x = 2\). Отсюда \(\frac{1}{(x - 2)^{2} + 3} \leqslant \frac{1}{3}\), и наибольшее значение выражения под знаком логарифма равно \(\frac{1}{3}\).
Основание \(\frac{1}{3}\) меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывающая, и наименьшее значение данной функции достигается при \(x = 2\); оно равно \(\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1\).
Ответ: 1) 3; 2) 1.
