Страница 47 номер 5.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сколько корней имеет уравнение: 1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \log_{2} x\); 2) \(\log_{2} x = \frac{1}{x}\)?
Количество корней уравнения — количество общих точек графиков его левой и правой частей.
1) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Строим графики \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) и \(y = \log_{2} x\).
Функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) убывающая, так как её основание меньше единицы, а функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, поэтому общих точек не более одной. При \(x = 1\) левая часть равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \frac{1}{2}\), правая \(\log_{2} 1 = 0\) — показательная кривая выше логарифмической; при \(x = 2\) левая часть равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\), правая \(\log_{2} 2 = 1\) — показательная кривая ниже. Обе функции непрерывны, поэтому между 1 и 2 графики пересекаются: общая точка ровно одна.
2) Уравнение имеет смысл при \(x > 0\). Построим на этом промежутке графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = \frac{1}{x}\).
Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = \frac{1}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) убывающая, поэтому общих точек не более одной. При \(x = 1\) левая часть равна \(\log_{2} 1 = 0\), правая 1 — логарифмическая кривая ниже гиперболы; при \(x = 2\) левая часть равна \(\log_{2} 2 = 1\), правая \(\frac{1}{2}\) — кривая выше. Обе функции непрерывны, поэтому между 1 и 2 графики пересекаются: общая точка ровно одна.
Ответ: 1) 1 корень; 2) 1 корень.
Сколько корней имеет уравнение: 1) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \log_{2} x\); 2) \(\log_{2} x = \frac{1}{x}\)?
Количество корней уравнения — это количество общих точек графиков функций, записанных в его левой и правой частях.
1) Уравнение \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x} = \log_{2} x\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) и \(y = \log_{2} x\).
Функция \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) убывающая, так как её основание меньше единицы, а функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. При \(x = 1\) левая часть уравнения равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{1} = \frac{1}{2}\), а правая равна \(\log_{2} 1 = 0\), то есть показательная кривая проходит выше логарифмической; при \(x = 2\) левая часть равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\), а правая равна \(\log_{2} 2 = 1\), то есть показательная кривая проходит ниже. Обе функции непрерывны, поэтому между 1 и 2 графики пересекаются. Значит, общая точка ровно одна.
2) Уравнение \(\log_{2} x = \frac{1}{x}\) имеет смысл при \(x > 0\). Построим в одной системе координат графики функций \(y = \log_{2} x\) и \(y = \frac{1}{x}\) на этом промежутке.
Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, а функция \(y = \frac{1}{x}\) на промежутке \((0;\ +\infty)\) убывающая, поэтому общих точек у графиков не более одной. При \(x = 1\) левая часть уравнения равна \(\log_{2} 1 = 0\), а правая равна 1, то есть логарифмическая кривая проходит ниже гиперболы; при \(x = 2\) левая часть равна \(\log_{2} 2 = 1\), а правая равна \(\frac{1}{2}\), то есть кривая проходит выше. Обе функции непрерывны, поэтому между 1 и 2 графики пересекаются. Значит, общая точка ровно одна.
Ответ: 1) 1 корень; 2) 1 корень.
