Страница 57 номер 6.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{2\lg x}{\lg(8x - 7)} = 1\); 2) \(\frac{\log_{4}(x^2 + x - 2) - 1}{\log_{4}(x - 1)} = 0\); 3) \(\log_{x}(2x^2 - 7x + 12) = 2\); 4) \(\log_{x + 1}(x + 3) = 2\); 5) \(\log_{x - 2}(2x^2 - 11x + 16) = 2\).
1) Логарифм стоит в знаменателе дроби, поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ 8x - 7 > 0, \\ 8x - 7 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \(x > \frac{7}{8}\) и \(x \ne 1\). На этом множестве \(2\lg x = \lg x^2\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg x^2 = \lg(8x - 7), \\ x > \frac{7}{8}, \\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 = 8x - 7, \\ x > \frac{7}{8},\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 7, \end{array}\right. \\ x > \frac{7}{8},\ x \ne 1. \end{cases}\]
Значит, \(x = 7\).
2) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x^2 + x - 2 > 0, \\ x - 1 > 0, \\ \log_4(x - 1) \ne 0. \end{cases}\]
Так как \(x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)\), при \(x > 1\) первое неравенство выполняется; условие \(\log_4(x - 1) \ne 0\) означает \(x - 1 \ne 1\), то есть \(x \ne 2\). Значит, ОДЗ — множество \((1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: \(\log_4(x^2 + x - 2) = 1\); \(x^2 + x - 2 = 4\); \(x^2 + x - 6 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 2\). Ни одно из этих чисел не принадлежит ОДЗ, поэтому корней нет.
3) Основанием логарифма служит \(x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 7x + 12 = x^2, \\ x > 0, \\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x > 0,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 0,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\) или \(x = 4\).
4) Основанием логарифма служит \(x + 1\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 3 = (x + 1)^2, \\ x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 + x - 2 = 0, \\ x > -1,\ x \ne 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ x > -1,\ x \ne 0. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 1\).
5) Основанием логарифма служит \(x - 2\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 11x + 16 = (x - 2)^2, \\ x - 2 > 0, \\ x - 2 \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x > 2,\ x \ne 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 2,\ x \ne 3. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 4\).
Ответ: 1) 7; 2) корней нет; 3) 3; 4; 4) 1; 5) 4.
Решите уравнение: 1) \(\frac{2\lg x}{\lg(8x - 7)} = 1\); 2) \(\frac{\log_{4}(x^2 + x - 2) - 1}{\log_{4}(x - 1)} = 0\); 3) \(\log_{x}(2x^2 - 7x + 12) = 2\); 4) \(\log_{x + 1}(x + 3) = 2\); 5) \(\log_{x - 2}(2x^2 - 11x + 16) = 2\).
1) Логарифм стоит в знаменателе дроби, поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ 8x - 7 > 0, \\ 8x - 7 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \(x > \frac{7}{8}\) и \(x \ne 1\). На этом множестве \(2\lg x = \lg x^2\), и данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg x^2 = \lg(8x - 7), \\ x > \frac{7}{8}, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \[\begin{cases} x^2 = 8x - 7, \\ x > \frac{7}{8},\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 7, \end{array}\right. \\ x > \frac{7}{8},\ x \ne 1. \end{cases}\]
Значит, \(x = 7\).
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 + x - 2 > 0, \\ x - 1 > 0, \\ \log_4(x - 1) \ne 0. \end{cases}\]
Так как \(x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)\), при \(x > 1\) первое неравенство выполняется; условие \(\log_4(x - 1) \ne 0\) означает, что \(x - 1 \ne 1\), то есть \(x \ne 2\). Значит, область определения — множество \((1;\ 2) \cup (2;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Имеем: \(\log_4(x^2 + x - 2) = 1\); \(x^2 + x - 2 = 4\); \(x^2 + x - 6 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 2\). Ни одно из этих чисел не принадлежит области определения уравнения, поэтому корней нет.
3) Основанием логарифма служит \(x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 7x + 12 = x^2, \\ x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x > 0,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 0,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\) или \(x = 4\).
4) Основанием логарифма служит \(x + 1\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 3 = (x + 1)^2, \\ x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 + x - 2 = 0, \\ x > -1,\ x \ne 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ x > -1,\ x \ne 0. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 1\).
5) Основанием логарифма служит \(x - 2\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^2 - 11x + 16 = (x - 2)^2, \\ x - 2 > 0, \\ x - 2 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0, \\ x > 2,\ x \ne 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 2,\ x \ne 3. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 4\).
Ответ: 1) 7; 2) корней нет; 3) 3; 4; 4) 1; 5) 4.
