Страница 58 номер 6.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{\log_{5} x} = 5\); 2) \(x^{\lg x + 2} = 1000\); 3) \(x^{\log_{3} x - 3} = \frac{1}{9}\); 4) \(x^{\log_{6} x} = 216x^2\).
1) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части уравнения положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_5 x^{\log_5 x} = \log_5 5\), то есть \(\log_5 x \cdot \log_5 x = 1\).
Пусть \(\log_5 x = t\); тогда \(t^2 = 1\); \(t = -1\) или \(t = 1\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_5 x = -1, \\ \log_5 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{5}, \\ x = 5. \end{array}\right.\)
2) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\lg x + 2} = \lg 1000\), то есть \((\lg x + 2)\lg x = 3\).
Пусть \(\lg x = t\); тогда \(t^2 + 2t - 3 = 0\); \(t = -3\) или \(t = 1\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -3, \\ \lg x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0{,}001, \\ x = 10. \end{array}\right.\)
3) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_3 x^{\log_3 x - 3} = \log_3 \frac{1}{9}\), то есть \((\log_3 x - 3)\log_3 x = -2\).
Пусть \(\log_3 x = t\); тогда \(t^2 - 3t + 2 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 2\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = 1, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
4) ОДЗ: \(x > 0\); при таких значениях \(x\) обе части положительны, поэтому уравнение равносильно уравнению \(\log_6 x^{\log_6 x} = \log_6 (216x^2)\), то есть \(\log_6 x \cdot \log_6 x = \log_6 216 + 2\log_6 x\).
Пусть \(\log_6 x = t\); тогда \(t^2 = 3 + 2t\); \(t^2 - 2t - 3 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 3\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_6 x = -1, \\ \log_6 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{6}, \\ x = 216. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{5}\); 5; 2) \(0{,}001\); 10; 3) 3; 9; 4) \(\frac{1}{6}\); 216.
Решите уравнение: 1) \(x^{\log_{5} x} = 5\); 2) \(x^{\lg x + 2} = 1000\); 3) \(x^{\log_{3} x - 3} = \frac{1}{9}\); 4) \(x^{\log_{6} x} = 216x^2\).
1) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения принимают положительные значения, поэтому можем записать уравнение, равносильное данному: \(\log_5 x^{\log_5 x} = \log_5 5\). Отсюда \(\log_5 x \cdot \log_5 x = 1\).
Пусть \(\log_5 x = t\). Тогда \(t^2 = 1\); \(t = -1\) или \(t = 1\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_5 x = -1, \\ \log_5 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{5}, \\ x = 5. \end{array}\right.\)
2) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(\lg x^{\lg x + 2} = \lg 1000\). Отсюда \((\lg x + 2)\lg x = 3\).
Пусть \(\lg x = t\). Тогда \(t^2 + 2t - 3 = 0\); \(t = -3\) или \(t = 1\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -3, \\ \lg x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0{,}001, \\ x = 10. \end{array}\right.\)
3) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(\log_3 x^{\log_3 x - 3} = \log_3 \frac{1}{9}\). Отсюда \((\log_3 x - 3)\log_3 x = -2\).
Пусть \(\log_3 x = t\). Тогда \(t^2 - 3t + 2 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = 1, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
4) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\), и на нём обе части уравнения положительны, поэтому данное уравнение равносильно уравнению \(\log_6 x^{\log_6 x} = \log_6 (216x^2)\). Отсюда \(\log_6 x \cdot \log_6 x = \log_6 216 + 2\log_6 x\).
Пусть \(\log_6 x = t\). Тогда \(t^2 = 3 + 2t\); \(t^2 - 2t - 3 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 3\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_6 x = -1, \\ \log_6 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{6}, \\ x = 216. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{5}\); 5; 2) \(0{,}001\); 10; 3) 3; 9; 4) \(\frac{1}{6}\); 216.
