Страница 56 номер 6.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) ОДЗ: \(x > 0\). Пусть \(\log_2 x = t\); тогда \(t^2 + 3t - 4 = 0\); \(t = -4\) или \(t = 1\), и уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -4, \\ \log_2 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 2^{-4}, \\ x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{16}, \\ x = 2. \end{array}\right.\)
2) ОДЗ: \(x > 0\). Пусть \(\log_3 x = t\); тогда \(t^2 - t - 2 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 2\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -1, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{3}, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
3) ОДЗ: \(x > 0\); на нём \(\lg x^2 = 2\lg x\), и уравнение принимает вид \(\lg^2 x - 4\lg x + 3 = 0\).
Пусть \(\lg x = t\); тогда \(t^2 - 4t + 3 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 3\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = 1, \\ \lg x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 10, \\ x = 1000. \end{array}\right.\)
4) Основанием второго логарифма служит \(x\), поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Так как \(\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}\), положим \(\log_5 x = t\), где \(t \ne 0\); тогда \(t + \frac{1}{t} = 2{,}5\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = 2\), откуда \(\left[\begin{array}{l} \log_5 x = \frac{1}{2}, \\ \log_5 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \sqrt{5}, \\ x = 25. \end{array}\right.\)
5) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(\sqrt{\log_{\frac{1}{6}} x} = u\), где \(u \geqslant 0\); тогда \(2u^2 + 3u - 5 = 0\); \(u = -2{,}5\) или \(u = 1\). Условию \(u \geqslant 0\) удовлетворяет только \(u = 1\), поэтому \(\log_{\frac{1}{6}} x = 1\); \(x = \frac{1}{6}\).
6) Логарифм стоит в знаменателях дробей, поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x + 2 > 0, \\ \lg(x + 2) \ne 3, \\ \lg(x + 2) \ne -1. \end{cases}\]
Пусть \(\lg(x + 2) = t\), где \(t \ne 3\) и \(t \ne -1\); тогда \(\frac{2}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = 1\); \(2(t + 1) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 1)\); \(t^2 - 8t + 7 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 7\) — оба значения допустимы, и уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} \lg(x + 2) = 1, \\ \lg(x + 2) = 7; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x + 2 = 10, \\ x + 2 = 10^7; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 8, \\ x = 10^7 - 2. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{16}\); 2; 2) \(\frac{1}{3}\); 9; 3) 10; 1000; 4) \(\sqrt{5}\); 25; 5) \(\frac{1}{6}\); 6) 8; \(10^7 - 2\).
1) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\).
Пусть \(\log_2 x = t\). Тогда \(t^2 + 3t - 4 = 0\); \(t = -4\) или \(t = 1\). Поэтому данное уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -4, \\ \log_2 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 2^{-4}, \\ x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{16}, \\ x = 2. \end{array}\right.\)
2) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\).
Пусть \(\log_3 x = t\). Тогда \(t^2 - t - 2 = 0\); \(t = -1\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -1, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{3}, \\ x = 9. \end{array}\right.\)
3) Выражение \(\lg x\) определено только при \(x > 0\), поэтому область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\lg x^2 = 2\lg x\), и уравнение принимает вид \(\lg^2 x - 4\lg x + 3 = 0\).
Пусть \(\lg x = t\). Тогда \(t^2 - 4t + 3 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 3\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = 1, \\ \lg x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 10, \\ x = 1000. \end{array}\right.\)
4) Основанием второго логарифма служит \(x\), поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
По формуле перехода к другому основанию \(\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}\). Пусть \(\log_5 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(t + \frac{1}{t} = 2{,}5\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_5 x = \frac{1}{2}, \\ \log_5 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \sqrt{5}, \\ x = 25. \end{array}\right.\)
5) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ \log_{\frac{1}{6}} x \geqslant 0. \end{cases}\]
Пусть \(\sqrt{\log_{\frac{1}{6}} x} = u\), где \(u \geqslant 0\). Тогда \(2u^2 + 3u - 5 = 0\); \(u = -2{,}5\) или \(u = 1\). Условию \(u \geqslant 0\) удовлетворяет только \(u = 1\). Отсюда \(\log_{\frac{1}{6}} x = 1\); \(x = \frac{1}{6}\).
6) Логарифм стоит в знаменателях дробей, поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x + 2 > 0, \\ \lg(x + 2) \ne 3, \\ \lg(x + 2) \ne -1. \end{cases}\]
Пусть \(\lg(x + 2) = t\), где \(t \ne 3\) и \(t \ne -1\). Тогда \(\frac{2}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = 1\); \(2(t + 1) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 1)\); \(t^2 - 8t + 7 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 7\). Оба значения допустимы, и уравнение равносильно совокупности \(\left[\begin{array}{l} \lg(x + 2) = 1, \\ \lg(x + 2) = 7; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x + 2 = 10, \\ x + 2 = 10^7; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 8, \\ x = 10^7 - 2. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) \(\frac{1}{16}\); 2; 2) \(\frac{1}{3}\); 9; 3) 10; 1000; 4) \(\sqrt{5}\); 25; 5) \(\frac{1}{6}\); 6) 8; \(10^7 - 2\).
