Страница 56 номер 6.13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{4}(x(x - 3)) = 1, \\ x > 0, \\ x - 3 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} x(x - 3) = 4, \\ x > 3. \end{cases}\]
\(x^{2} - 3x - 4 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{0{,}5}((4 - x)(x - 1)) = -1, \\ 4 - x > 0, \\ x - 1 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} (4 - x)(x - 1) = (0{,}5)^{-1}, \\ 1 < x < 4. \end{cases}\]
Так как \((0{,}5)^{-1} = 2\), уравнение системы принимает вид \(-x^{2} + 5x - 4 = 2\); \(x^{2} - 5x + 6 = 0\); \(x = 2\) или \(x = 3\). Промежутку \((1;\ 4)\) принадлежат оба числа, значит, оба они — корни уравнения.
3) Правая часть равна \(\lg 10 - \lg 5 = \lg 2\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((x - 2)(x - 3)) = \lg 2, \\ x - 2 > 0, \\ x - 3 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} (x - 2)(x - 3) = 2, \\ x > 3. \end{cases}\]
\(x^{2} - 5x + 6 = 2\); \(x^{2} - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
4) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3}((2x - 1)(x - 4)) = 2, \\ 2x - 1 > 0, \\ x - 4 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} (2x - 1)(x - 4) = 3^{2}, \\ x > 4. \end{cases}\]
\(2x^{2} - 9x + 4 = 9\); \(2x^{2} - 9x - 5 = 0\). Дискриминант равен \(81 + 40 = 121\), поэтому \(x = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2}\) или \(x = \frac{9 + 11}{4} = 5\). Условию \(x > 4\) удовлетворяет только 5.
5) Правая часть равна \(\lg 100 + \lg 0{,}18 = \lg 18\), а произведение выражений под знаками логарифмов равно \(\sqrt{(5x - 4)(x + 1)}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg \sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = \lg 18, \\ \sqrt{5x - 4} > 0, \\ \sqrt{x + 1} > 0. \end{cases}\]
Два неравенства означают \(5x - 4 > 0\) и \(x + 1 > 0\), то есть \(x > 0{,}8\). Уравнение системы даёт \(\sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = 18\); \((5x - 4)(x + 1) = 324\); \(5x^{2} + x - 4 = 324\); \(5x^{2} + x - 328 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 6560 = 6561\), а \(\sqrt{6561} = 81\), поэтому \(x = \frac{-1 - 81}{10} = -8{,}2\) или \(x = \frac{-1 + 81}{10} = 8\). Условию \(x > 0{,}8\) удовлетворяет только 8.
6) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((x - 1)(x - 3)) = \lg(1{,}5x - 3), \\ x - 1 > 0, \\ x - 3 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} (x - 1)(x - 3) = 1{,}5x - 3, \\ x > 3. \end{cases}\]
\(x^{2} - 4x + 3 = 1{,}5x - 3\); \(x^{2} - 5{,}5x + 6 = 0\), а после умножения обеих частей на 2 — \(2x^{2} - 11x + 12 = 0\). Дискриминант равен \(121 - 96 = 25\), поэтому \(x = \frac{11 - 5}{4} = 1{,}5\) или \(x = \frac{11 + 5}{4} = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
7) Перенесём логарифм из правой части в левую: \(\log_{2}(5 - x) - \log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 2) = 1\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 1, \\ 5 - x > 0, \\ x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\]
Три неравенства дают \(1 < x < 5\), а уравнение принимает вид \(\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 2\); \((5 - x)(x + 2) = 2(x - 1)\); \(-x^{2} + 3x + 10 = 2x - 2\); \(x^{2} - x - 12 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 4\). Промежутку \((1;\ 5)\) принадлежит только 4.
8) Выражение \(2\log_{5}(x + 1)\) определено при \(x + 1 > 0\), и там \(2\log_{5}(x + 1) = \log_{5}(x + 1)^{2}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{5} \frac{(x + 1)^{2}}{x + 9} = \log_{5}(3x - 17), \\ x + 1 > 0, \\ x + 9 > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} \frac{(x + 1)^{2}}{x + 9} = 3x - 17, \\ x > -1. \end{cases}\]
\((x + 1)^{2} = (3x - 17)(x + 9)\); \(x^{2} + 2x + 1 = 3x^{2} + 10x - 153\); \(2x^{2} + 8x - 154 = 0\); \(x^{2} + 4x - 77 = 0\); \(x = -11\) или \(x = 7\). Условию \(x > -1\) удовлетворяет только 7.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3; 3) 4; 4) 5; 5) 8; 6) 4; 7) 4; 8) 7.
Сумму (разность) логарифмов сворачивают в логарифм произведения (частного), а в систему выписывают положительность каждого исходного выражения, стоявшего под знаком логарифма: положительность свёрнутого произведения — условие более слабое, и оно привело бы к посторонним корням.
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{4}(x(x - 3)) = 1, \\ x > 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x(x - 3) = 4, \\ x > 3. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 3x - 4 = 0\) получаем \(x = -1\) или \(x = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{0{,}5}((4 - x)(x - 1)) = -1, \\ 4 - x > 0, \\ x - 1 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} (4 - x)(x - 1) = (0{,}5)^{-1}, \\ 1 < x < 4. \end{cases}\]
Так как \((0{,}5)^{-1} = 2\), уравнение системы принимает вид \(-x^{2} + 5x - 4 = 2\). Отсюда \(x^{2} - 5x + 6 = 0\); \(x = 2\) или \(x = 3\). Промежутку \((1;\ 4)\) принадлежат оба числа, значит, оба они — корни уравнения.
3) Правая часть равна \(\lg 10 - \lg 5 = \lg 2\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((x - 2)(x - 3)) = \lg 2, \\ x - 2 > 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} (x - 2)(x - 3) = 2, \\ x > 3. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 5x + 6 = 2\) получаем \(x^{2} - 5x + 4 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
4) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{3}((2x - 1)(x - 4)) = 2, \\ 2x - 1 > 0, \\ x - 4 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} (2x - 1)(x - 4) = 3^{2}, \\ x > 4. \end{cases}\]
Из уравнения \(2x^{2} - 9x + 4 = 9\) получаем \(2x^{2} - 9x - 5 = 0\). Дискриминант равен \(81 + 40 = 121\), поэтому \(x = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2}\) или \(x = \frac{9 + 11}{4} = 5\). Условию \(x > 4\) удовлетворяет только 5.
5) Правая часть равна \(\lg 100 + \lg 0{,}18 = \lg 18\). Под знаками логарифмов стоят выражения \(\sqrt{5x - 4}\) и \(\sqrt{x + 1}\), их произведение равно \(\sqrt{(5x - 4)(x + 1)}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg \sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = \lg 18, \\ \sqrt{5x - 4} > 0, \\ \sqrt{x + 1} > 0. \end{cases}\]
Два неравенства означают \(5x - 4 > 0\) и \(x + 1 > 0\), то есть \(x > 0{,}8\). Уравнение системы даёт \(\sqrt{(5x - 4)(x + 1)} = 18\); \((5x - 4)(x + 1) = 324\); \(5x^{2} + x - 4 = 324\); \(5x^{2} + x - 328 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 6560 = 6561\), а \(\sqrt{6561} = 81\), поэтому \(x = \frac{-1 - 81}{10} = -8{,}2\) или \(x = \frac{-1 + 81}{10} = 8\). Условию \(x > 0{,}8\) удовлетворяет только 8.
6) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg((x - 1)(x - 3)) = \lg(1{,}5x - 3), \\ x - 1 > 0, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} (x - 1)(x - 3) = 1{,}5x - 3, \\ x > 3. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 4x + 3 = 1{,}5x - 3\) получаем \(x^{2} - 5{,}5x + 6 = 0\), а после умножения обеих частей на 2 — уравнение \(2x^{2} - 11x + 12 = 0\). Дискриминант равен \(121 - 96 = 25\), поэтому \(x = \frac{11 - 5}{4} = 1{,}5\) или \(x = \frac{11 + 5}{4} = 4\). Условию \(x > 3\) удовлетворяет только 4.
7) Перенесём логарифм из правой части в левую: \(\log_{2}(5 - x) - \log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 2) = 1\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 1, \\ 5 - x > 0, \\ x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\]
Три неравенства дают \(1 < x < 5\), а уравнение принимает вид \(\frac{(5 - x)(x + 2)}{x - 1} = 2\). Отсюда \((5 - x)(x + 2) = 2(x - 1)\); \(-x^{2} + 3x + 10 = 2x - 2\); \(x^{2} - x - 12 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 4\). Промежутку \((1;\ 5)\) принадлежит только 4.
8) Выражение \(2\log_{5}(x + 1)\) определено при \(x + 1 > 0\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{5}(x + 1) = \log_{5}(x + 1)^{2}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{5} \frac{(x + 1)^{2}}{x + 9} = \log_{5}(3x - 17), \\ x + 1 > 0, \\ x + 9 > 0. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} \frac{(x + 1)^{2}}{x + 9} = 3x - 17, \\ x > -1. \end{cases}\]
Из уравнения \((x + 1)^{2} = (3x - 17)(x + 9)\) получаем \(x^{2} + 2x + 1 = 3x^{2} + 10x - 153\); \(2x^{2} + 8x - 154 = 0\); \(x^{2} + 4x - 77 = 0\); \(x = -11\) или \(x = 7\). Условию \(x > -1\) удовлетворяет только 7.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3; 3) 4; 4) 5; 5) 8; 6) 4; 7) 4; 8) 7.
