Страница 58 номер 6.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} 9 + \log_{x^2} 729 = 10\); 2) \(\log_{x}(125x)\log_{25}^{2} x = 1\); 3) \(3\log_{x} 4 + 2\log_{4x} 4 + 3\log_{16x} 4 = 0\).
1) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
При \(x > 0\) имеем \(\log_3 x^2 = 2\log_3 x\), поэтому по основанию 3: \[\frac{2}{\log_3 x} + \frac{6}{2\log_3 x} = 10.\]
Пусть \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\frac{5}{t} = 10\); \(t = \frac{1}{2}\); \(x = \sqrt{3}\).
2) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\log_5 x = t\), где \(t \ne 0\); тогда \(\log_x (125x) = \frac{3 + t}{t}\), \(\log_{25} x = \frac{t}{2}\) и \(\log_{25}^2 x = \frac{t^2}{4}\): \[\frac{3 + t}{t} \cdot \frac{t^2}{4} = 1; \qquad t^2 + 3t - 4 = 0.\]
\(t = -4\) или \(t = 1\), то есть \(\log_5 x = -4\) или \(\log_5 x = 1\); \(x = \frac{1}{625}\) или \(x = 5\).
3) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ x \ne \frac{1}{4}, \\ x \ne \frac{1}{16}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_4 x = t\); условия ОДЗ означают, что \(t \ne 0\), \(t \ne -1\), \(t \ne -2\). Так как \(\log_4 4x = 1 + t\) и \(\log_4 16x = 2 + t\), то \[\frac{3}{t} + \frac{2}{1 + t} + \frac{3}{2 + t} = 0.\]
Умножим на \(t(1 + t)(2 + t)\): \[3(1 + t)(2 + t) + 2t(2 + t) + 3t(1 + t) = 0; \qquad 8t^2 + 16t + 6 = 0; \qquad 4t^2 + 8t + 3 = 0.\]
\(t = -\frac{3}{2}\) или \(t = -\frac{1}{2}\); \(x = 4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{8}\) или \(x = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{3}\); 2) \(\frac{1}{625}\); 5; 3) \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{2}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{x} 9 + \log_{x^2} 729 = 10\); 2) \(\log_{x}(125x)\log_{25}^{2} x = 1\); 3) \(3\log_{x} 4 + 2\log_{4x} 4 + 3\log_{16x} 4 = 0\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Перейдём к логарифмам по основанию 3. Так как \(x > 0\), то \(\log_3 x^2 = 2\log_3 x\), и уравнение принимает вид \[\frac{2}{\log_3 x} + \frac{6}{2\log_3 x} = 10.\]
Пусть \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\frac{5}{t} = 10\); \(t = \frac{1}{2}\). Отсюда \(\log_3 x = \frac{1}{2}\); \(x = \sqrt{3}\).
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\log_5 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\log_x (125x) = \frac{3 + t}{t}\), а \(\log_{25} x = \frac{t}{2}\), поэтому \(\log_{25}^2 x = \frac{t^2}{4}\). Уравнение принимает вид \[\frac{3 + t}{t} \cdot \frac{t^2}{4} = 1; \qquad t^2 + 3t - 4 = 0.\]
Отсюда \(t = -4\) или \(t = 1\), то есть \(\log_5 x = -4\) или \(\log_5 x = 1\). Получаем: \(x = \frac{1}{625}\) или \(x = 5\).
3) Основания логарифмов — \(x\), \(4x\) и \(16x\), поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ x \ne \frac{1}{4}, \\ x \ne \frac{1}{16}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_4 x = t\); условия области определения означают, что \(t \ne 0\), \(t \ne -1\), \(t \ne -2\). Так как \(\log_4 4x = 1 + t\) и \(\log_4 16x = 2 + t\), уравнение принимает вид \[\frac{3}{t} + \frac{2}{1 + t} + \frac{3}{2 + t} = 0.\]
Умножим обе части на \(t(1 + t)(2 + t)\): \[3(1 + t)(2 + t) + 2t(2 + t) + 3t(1 + t) = 0; \qquad 8t^2 + 16t + 6 = 0.\]
Отсюда \(4t^2 + 8t + 3 = 0\); \(t = -\frac{3}{2}\) или \(t = -\frac{1}{2}\). Получаем: \(x = 4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{8}\) или \(x = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) \(\sqrt{3}\); 2) \(\frac{1}{625}\); 5; 3) \(\frac{1}{8}\); \(\frac{1}{2}\).
