Страница 56 номер 6.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{3}(5^{x} + 2) + \log_{3}(5^{x} - 1) = 2 + \log_{3} 2\); 2) \(\log_{2}(2^{x} + 3) + \log_{2}(5 - 2^{x}) = 4\).
1) Так как \(2 + \log_3 2 = \log_3 9 + \log_3 2 = \log_3 18\), уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = \log_3 18, \\ 5^x + 2 > 0, \\ 5^x - 1 > 0. \end{cases}\]
Неравенство \(5^x + 2 > 0\) верно при любом \(x\), а \(5^x - 1 > 0\) означает \(5^x > 1\).
Пусть \(5^x = t\), где \(t > 1\); тогда \((t + 2)(t - 1) = 18\); \(t^2 + t - 20 = 0\); \(t = -5\) или \(t = 4\). Условию \(t > 1\) удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(5^x = 4\); \(x = \log_5 4\).
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2((2^x + 3)(5 - 2^x)) = 4, \\ 2^x + 3 > 0, \\ 5 - 2^x > 0. \end{cases}\]
Неравенство \(2^x + 3 > 0\) верно при любом \(x\), а \(5 - 2^x > 0\) означает \(2^x < 5\).
Пусть \(2^x = t\), где \(0 < t < 5\); тогда \((t + 3)(5 - t) = 2^4\); \(-t^2 + 2t + 15 = 16\); \(t^2 - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\) — условию \(0 < t < 5\) удовлетворяет. Отсюда \(2^x = 1\); \(x = 0\).
Ответ: 1) \(\log_5 4\); 2) 0.
Решите уравнение: 1) \(\log_{3}(5^{x} + 2) + \log_{3}(5^{x} - 1) = 2 + \log_{3} 2\); 2) \(\log_{2}(2^{x} + 3) + \log_{2}(5 - 2^{x}) = 4\).
1) Так как \(2 + \log_3 2 = \log_3 9 + \log_3 2 = \log_3 18\), данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_3((5^x + 2)(5^x - 1)) = \log_3 18, \\ 5^x + 2 > 0, \\ 5^x - 1 > 0. \end{cases}\]
Неравенство \(5^x + 2 > 0\) выполняется при любом \(x\), а неравенство \(5^x - 1 > 0\) означает, что \(5^x > 1\).
Пусть \(5^x = t\), где \(t > 1\). Тогда \((t + 2)(t - 1) = 18\); \(t^2 + t - 20 = 0\); \(t = -5\) или \(t = 4\). Условию \(t > 1\) удовлетворяет только \(t = 4\). Отсюда \(5^x = 4\); \(x = \log_5 4\).
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2((2^x + 3)(5 - 2^x)) = 4, \\ 2^x + 3 > 0, \\ 5 - 2^x > 0. \end{cases}\]
Неравенство \(2^x + 3 > 0\) выполняется при любом \(x\), а неравенство \(5 - 2^x > 0\) означает, что \(2^x < 5\).
Пусть \(2^x = t\), где \(0 < t < 5\). Тогда \((t + 3)(5 - t) = 2^4\); \(-t^2 + 2t + 15 = 16\); \(t^2 - 2t + 1 = 0\); \((t - 1)^2 = 0\); \(t = 1\). Это значение удовлетворяет условию \(0 < t < 5\). Отсюда \(2^x = 1\); \(x = 0\).
Ответ: 1) \(\log_5 4\); 2) 0.
