Страница 47 номер 5.32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\).
По формуле перехода к другому основанию \(\log_{4} \frac{1}{3} = \frac{\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}}{\log_{\frac{1}{3}} 4} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 4}\) — данные числа взаимно обратны.
Обозначим \(t = \log_{\frac{1}{3}} 4\). Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, поэтому из \(4 > 1\) получаем \(t < \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0\). Кроме того, \(t \ne -1\): значение \(-1\) этот логарифм принимает только для числа \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\), а под его знаком стоит 4.
\[t + \frac{1}{t} + 2 = \frac{t^{2} + 2t + 1}{t} = \frac{(t + 1)^{2}}{t}.\]
Числитель положителен, так как \(t \ne -1\), а знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна. Следовательно, \(t + \frac{1}{t} < -2\), то есть \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\).
Ответ: неравенство \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\) доказано.
Докажите, что \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\).
По формуле перехода к другому основанию \(\log_{4} \frac{1}{3} = \frac{\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}}{\log_{\frac{1}{3}} 4} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}} 4}\), то есть данные числа взаимно обратны.
Обозначим \(t = \log_{\frac{1}{3}} 4\). Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, поэтому из неравенства \(4 > 1\) получаем \(\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{3}} 1\), то есть \(t < 0\). Кроме того, \(t \ne -1\): значение \(-1\) логарифм по основанию \(\frac{1}{3}\) принимает только для числа \(\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3\), а под знаком логарифма стоит 4.
Сравним сумму \(t + \frac{1}{t}\) с числом \(-2\): \[t + \frac{1}{t} + 2 = \frac{t^{2} + 2t + 1}{t} = \frac{(t + 1)^{2}}{t}.\]
Числитель положителен, так как \(t \ne -1\), а знаменатель отрицателен, поэтому вся дробь отрицательна. Следовательно, \(t + \frac{1}{t} < -2\), то есть \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\).
Ответ: неравенство \(\log_{\frac{1}{3}} 4 + \log_{4} \frac{1}{3} < -2\) доказано.
