Страница 57 номер 6.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\lg x^2 = 2\lg x\), и уравнение принимает вид \(3(2\lg x)^2 - \lg x - 1 = 0\), то есть \(12\lg^2 x - \lg x - 1 = 0\).

Пусть \(\lg x = t\). Тогда \(12t^2 - t - 1 = 0\); \(t = -\frac{1}{4}\) или \(t = \frac{1}{3}\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -\frac{1}{4}, \\ \lg x = \frac{1}{3}; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 10^{-\frac{1}{4}}, \\ x = 10^{\frac{1}{3}}; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt[4]{10}}, \\ x = \sqrt[3]{10}. \end{array}\right.\)

2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ \frac{x}{27} > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > 0\). На этом множестве \(\log_3 x^2 = 2\log_3 x\), а \(\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - 3\).

Пусть \(\log_3 x = t\). Тогда \(2t(t - 3) + 4 = 0\); \(t^2 - 3t + 2 = 0\); \(t = 1\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = 1, \\ \log_3 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 3, \\ x = 9. \end{array}\right.\)

3) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_7(7x) = 1 + \log_7 x\), \(\log_7 \frac{x}{7} = \log_7 x - 1\), \(\log_7 x^2 = 2\log_7 x\).

Пусть \(\log_7 x = t\). Тогда \((1 + t)(t - 1) = 2t - 1\); \(t^2 - 1 = 2t - 1\); \(t^2 - 2t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_7 x = 0, \\ \log_7 x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 49. \end{array}\right.\)

Число 1 здесь допустимо: переменная стоит под знаком логарифма, а не в его основании.

4) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\lg(10x) = 1 + \lg x\).

Пусть \(\lg x = t\). Тогда \((1 + t)^2 + 1 + t = 6 + 3t\); \(t^2 + 3t + 2 = 6 + 3t\); \(t^2 = 4\); \(t = -2\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -2, \\ \lg x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{100}, \\ x = 100. \end{array}\right.\)

5) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} 36x > 0, \\ \frac{x^2}{216} > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > 0\). На этом множестве \(\log_6(36x) = 2 + \log_6 x\), а \(\log_6 \frac{x^2}{216} = 2\log_6 x - 3\).

Пусть \(\log_6 x = t\). Тогда \((2 + t)^2 + 2t - 3 = 8\); \(t^2 + 6t - 7 = 0\); \(t = -7\) или \(t = 1\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_6 x = -7, \\ \log_6 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 6^{-7}, \\ x = 6. \end{array}\right.\)

6) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} \log_2 x > 0, \\ \log_2 x^3 - 14 > 0. \end{cases}\]

Из первого неравенства следует, что \(x > 1\), поэтому \(\log_2 x^3 = 3\log_2 x\) и второе неравенство принимает вид \(3\log_2 x - 14 > 0\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_5(\log_2 x \cdot (3\log_2 x - 14)) = 1, \\ \log_2 x > \frac{14}{3}. \end{cases}\]

Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t > \frac{14}{3}\). Тогда \(t(3t - 14) = 5\); \(3t^2 - 14t - 5 = 0\); \(t = -\frac{1}{3}\) или \(t = 5\). Условию \(t > \frac{14}{3}\) удовлетворяет только \(t = 5\). Отсюда \(\log_2 x = 5\); \(x = 32\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{\sqrt[4]{10}}\); \(\sqrt[3]{10}\); 2) 3; 9; 3) 1; 49; 4) \(\frac{1}{100}\); 100; 5) \(6^{-7}\); 6; 6) 32.