Страница 56 номер 6.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_7(x(x + 6)) = 1, \\ x > 0, \\ x + 6 > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(x > 0\), откуда \[\begin{cases} x(x + 6) = 7, \\ x > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 + 6x - 7 = 0, \\ x > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -7, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ x > 0. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 1\).
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_3((5 - x)(3 - x)) = 1, \\ 5 - x > 0, \\ 3 - x > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(x < 3\), откуда \[\begin{cases} (5 - x)(3 - x) = 3, \\ x < 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 8x + 12 = 0, \\ x < 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 6, \end{array}\right. \\ x < 3. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 2\).
3) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}((4x - 1)(x + 1)) = \log_{\frac{1}{2}} 3{,}5, \\ 4x - 1 > 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(x > \frac{1}{4}\), откуда \[\begin{cases} (4x - 1)(x + 1) = 3{,}5, \\ x > \frac{1}{4}; \end{cases} \qquad \begin{cases} 8x^2 + 6x - 9 = 0, \\ x > \frac{1}{4}; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -\frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{4}, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Получаем: \(x = \frac{3}{4}\).
4) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{0{,}6}((x + 2)(6 - x)) = \log_{0{,}6}(x + 8), \\ x + 2 > 0, \\ 6 - x > 0, \\ x + 8 > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(-2 < x < 6\), откуда \[\begin{cases} (x + 2)(6 - x) = x + 8, \\ -2 < x < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 3x - 4 = 0, \\ -2 < x < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -1, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ -2 < x < 6. \end{cases}\]
Получаем: \(x = -1\) или \(x = 4\).
5) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2 \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2, \\ 2x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(x > \frac{1}{2}\), откуда \[\begin{cases} \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 4, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x^2 - 3x - 9 = 0, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -\frac{3}{2}, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
6) На области определения \(x + 1 > 0\), поэтому \(2\lg(x + 1) = \lg(x + 1)^2\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg \frac{(x + 1)^2}{4x - 5} = \lg(x - 5), \\ x + 1 > 0, \\ 4x - 5 > 0, \\ x - 5 > 0. \end{cases}\]
ОДЗ: \(x > 5\), откуда \[\begin{cases} (x + 1)^2 = (x - 5)(4x - 5), \\ x > 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 9x + 8 = 0, \\ x > 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 8, \end{array}\right. \\ x > 5. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 8\).
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) \(\frac{3}{4}\); 4) \(-1\); 4; 5) 3; 6) 8.
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_7(x(x + 6)) = 1, \\ x > 0, \\ x + 6 > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(x > 0\). Отсюда \[\begin{cases} x(x + 6) = 7, \\ x > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 + 6x - 7 = 0, \\ x > 0; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -7, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ x > 0. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 1\).
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_3((5 - x)(3 - x)) = 1, \\ 5 - x > 0, \\ 3 - x > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(x < 3\). Отсюда \[\begin{cases} (5 - x)(3 - x) = 3, \\ x < 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 8x + 12 = 0, \\ x < 3; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 6, \end{array}\right. \\ x < 3. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 2\).
3) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}((4x - 1)(x + 1)) = \log_{\frac{1}{2}} 3{,}5, \\ 4x - 1 > 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(x > \frac{1}{4}\). Отсюда \[\begin{cases} (4x - 1)(x + 1) = 3{,}5, \\ x > \frac{1}{4}; \end{cases} \qquad \begin{cases} 8x^2 + 6x - 9 = 0, \\ x > \frac{1}{4}; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -\frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{4}, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Получаем: \(x = \frac{3}{4}\).
4) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{0{,}6}((x + 2)(6 - x)) = \log_{0{,}6}(x + 8), \\ x + 2 > 0, \\ 6 - x > 0, \\ x + 8 > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(-2 < x < 6\). Отсюда \[\begin{cases} (x + 2)(6 - x) = x + 8, \\ -2 < x < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 3x - 4 = 0, \\ -2 < x < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -1, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ -2 < x < 6. \end{cases}\]
Получаем: \(x = -1\) или \(x = 4\).
5) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2 \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 2, \\ 2x - 1 > 0, \\ x + 2 > 0, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(x > \frac{1}{2}\). Отсюда \[\begin{cases} \frac{(2x - 1)(x + 1)}{x + 2} = 4, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \qquad \begin{cases} 2x^2 - 3x - 9 = 0, \\ x > \frac{1}{2}; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -\frac{3}{2}, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
6) Так как на области определения \(x + 1 > 0\), то \(2\lg(x + 1) = \lg(x + 1)^2\), и данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg \frac{(x + 1)^2}{4x - 5} = \lg(x - 5), \\ x + 1 > 0, \\ 4x - 5 > 0, \\ x - 5 > 0. \end{cases}\]
Условия области определения дают \(x > 5\). Отсюда \[\begin{cases} (x + 1)^2 = (x - 5)(4x - 5), \\ x > 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 9x + 8 = 0, \\ x > 5; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 8, \end{array}\right. \\ x > 5. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 8\).
Ответ: 1) 1; 2) 2; 3) \(\frac{3}{4}\); 4) \(-1\); 4; 5) 3; 6) 8.
