Страница 58 номер 6.31, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(x^{\lg 5} + 5^{\lg x} = 250\); 2) \(3^{\log_{3}^{2} x} + x^{\log_{3} x} = 18\).
1) ОДЗ: \((0;\ +\infty)\). Числа \(x^{\lg 5}\) и \(5^{\lg x}\) положительны, а их десятичные логарифмы равны: \[\lg x^{\lg 5} = \lg 5 \cdot \lg x, \qquad \lg 5^{\lg x} = \lg x \cdot \lg 5.\]
Значит, \(x^{\lg 5} = 5^{\lg x}\), и оба слагаемых левой части одинаковы: \(2 \cdot 5^{\lg x} = 250\); \(5^{\lg x} = 5^3\). Показательная функция с основанием 5 возрастающая, поэтому \(\lg x = 3\); \(x = 10^3 = 1000\).
2) ОДЗ: \((0;\ +\infty)\). Числа \(x^{\log_3 x}\) и \(3^{\log_3^2 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 3 равны: \[\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3^2 x, \qquad \log_3 3^{\log_3^2 x} = \log_3^2 x.\]
Значит, \(x^{\log_3 x} = 3^{\log_3^2 x}\), и \(2 \cdot 3^{\log_3^2 x} = 18\); \(3^{\log_3^2 x} = 3^2\); \(\log_3^2 x = 2\); \(\log_3 x = -\sqrt{2}\) или \(\log_3 x = \sqrt{2}\); \(x = 3^{-\sqrt{2}}\) или \(x = 3^{\sqrt{2}}\).
Ответ: 1) 1000; 2) \(3^{-\sqrt{2}}\); \(3^{\sqrt{2}}\).
Решите уравнение: 1) \(x^{\lg 5} + 5^{\lg x} = 250\); 2) \(3^{\log_{3}^{2} x} + x^{\log_{3} x} = 18\).
1) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Числа \(x^{\lg 5}\) и \(5^{\lg x}\) положительны, а их десятичные логарифмы равны: \[\lg x^{\lg 5} = \lg 5 \cdot \lg x, \qquad \lg 5^{\lg x} = \lg x \cdot \lg 5.\]
Значит, \(x^{\lg 5} = 5^{\lg x}\), и оба слагаемых левой части одинаковы. Уравнение принимает вид \[2 \cdot 5^{\lg x} = 250; \qquad 5^{\lg x} = 5^3.\]
Показательная функция с основанием 5 возрастающая, поэтому каждое своё значение она принимает при единственном показателе, и \(\lg x = 3\). Отсюда \(x = 10^3 = 1000\).
2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\).
Числа \(x^{\log_3 x}\) и \(3^{\log_3^2 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 3 равны: \[\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 x \cdot \log_3 x = \log_3^2 x, \qquad \log_3 3^{\log_3^2 x} = \log_3^2 x.\]
Значит, \(x^{\log_3 x} = 3^{\log_3^2 x}\), и уравнение принимает вид \[2 \cdot 3^{\log_3^2 x} = 18; \qquad 3^{\log_3^2 x} = 3^2.\]
Отсюда \(\log_3^2 x = 2\); \(\log_3 x = -\sqrt{2}\) или \(\log_3 x = \sqrt{2}\). Получаем: \(x = 3^{-\sqrt{2}}\) или \(x = 3^{\sqrt{2}}\).
Ответ: 1) 1000; 2) \(3^{-\sqrt{2}}\); \(3^{\sqrt{2}}\).
