Страница 58 номер 6.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\); при \(x > 0\) имеем \(\log_3 (9x^2) = 2 + 2t\), поэтому \(\log_x (9x^2) = \frac{2 + 2t}{t}\): \[\frac{2 + 2t}{t} \cdot t^2 = 4; \qquad t^2 + t - 2 = 0.\]
\(t = -2\) или \(t = 1\), то есть \(\log_3 x = -2\) или \(\log_3 x = 1\); \(x = \frac{1}{9}\) или \(x = 3\).
2) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 9, \\ x \ne \frac{1}{3}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_9 x = t\); тогда \(\log_9 \frac{x}{9} = t - 1\), \(\log_9 \frac{9}{x} = 1 - t\), \(\log_9 (9x^2) = 1 + 2t\), \(\log_9 x^3 = 3t\), \(\log_9 x^2 = 2t\), а условия ОДЗ дают \(t \ne 1\) и \(t \ne -\frac{1}{2}\): \[\frac{5t}{t - 1} + \frac{3t}{1 - t} + \frac{16t}{1 + 2t} = 2.\]
Так как \(\frac{3t}{1 - t} = -\frac{3t}{t - 1}\), первые два слагаемых дают \(\frac{2t}{t - 1}\), и после деления на 2 получаем \(\frac{t}{t - 1} + \frac{8t}{1 + 2t} = 1\). Умножим на \((t - 1)(1 + 2t)\): \[t(1 + 2t) + 8t(t - 1) = (t - 1)(1 + 2t); \qquad 8t^2 - 6t + 1 = 0.\]
Дискриминант равен \(36 - 32 = 4\), поэтому \(t = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}\) или \(t = \frac{6 + 2}{16} = \frac{1}{2}\); \(x = 9^{\frac{1}{4}} = \sqrt{3}\) или \(x = 9^{\frac{1}{2}} = 3\) — оба числа удовлетворяют ОДЗ.
3) ОДЗ: \[\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x + 2 \ne 1, \\ 8 - x > 0; \end{cases}\] это все числа промежутка \((-2;\ 8)\), кроме \(x = -1\).
\(2 - 4\log_{12} 2 = \log_{12} 144 - \log_{12} 16 = \log_{12} 9\), \(\frac{\log_{12} 9}{\log_{12} (x + 2)} = \log_{x + 2} 9\), \(\frac{\log_6 (8 - x)}{\log_6 (x + 2)} = \log_{x + 2} (8 - x)\): \[\log_{x + 2} 9 - 1 = \log_{x + 2} (8 - x).\]
Заменим единицу на \(\log_{x + 2} (x + 2)\) и свернём разность: \[\log_{x + 2} \frac{9}{x + 2} = \log_{x + 2} (8 - x).\]
Отсюда \(\frac{9}{x + 2} = 8 - x\); \(9 = (8 - x)(x + 2)\); \(x^2 - 6x - 7 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 7\). Число \(-1\) в ОДЗ не входит (при нём основание равно единице), остаётся \(x = 7\).
4) ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1, \\ x - 1 > 0, \\ x - 1 \ne 1, \\ x^3 - 9x + 8 > 0; \end{cases}\] в частности, \(x > 1\) и \(x \ne 2\).
\(\log_{x + 1}(x^3 - 9x + 8) = \frac{\log_{x - 1}(x^3 - 9x + 8)}{\log_{x - 1}(x + 1)}\), поэтому после умножения на \(\log_{x - 1}(x + 1)\) получаем \(\log_{x - 1}(x^3 - 9x + 8) = 3\): \[x^3 - 9x + 8 = (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1; \qquad x^2 - 4x + 3 = 0.\]
\(x = 1\) или \(x = 3\). Число 1 в ОДЗ не входит; при \(x = 3\) имеем \(x^3 - 9x + 8 = 8 > 0\), основания равны 4 и 2 — все условия выполнены.
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 3; 2) \(\sqrt{3}\); 3; 3) 7; 4) 3.
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Пусть \(\log_3 x = t\), где \(t \ne 0\). Так как \(x > 0\), то \(\log_3 (9x^2) = 2 + 2t\), поэтому \(\log_x (9x^2) = \frac{2 + 2t}{t}\). Уравнение принимает вид \[\frac{2 + 2t}{t} \cdot t^2 = 4; \qquad t^2 + t - 2 = 0.\]
Отсюда \(t = -2\) или \(t = 1\), то есть \(\log_3 x = -2\) или \(\log_3 x = 1\). Получаем: \(x = \frac{1}{9}\) или \(x = 3\).
2) Основания логарифмов — \(\frac{x}{9}\), \(\frac{9}{x}\) и \(9x^2\), поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 9, \\ x \ne \frac{1}{3}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_9 x = t\). Тогда \(\log_9 \frac{x}{9} = t - 1\), \(\log_9 \frac{9}{x} = 1 - t\), \(\log_9 (9x^2) = 1 + 2t\), а также \(\log_9 x^3 = 3t\) и \(\log_9 x^2 = 2t\). Условия области определения означают, что \(t \ne 1\) и \(t \ne -\frac{1}{2}\). Уравнение принимает вид \[\frac{5t}{t - 1} + \frac{3t}{1 - t} + \frac{16t}{1 + 2t} = 2.\]
Так как \(\frac{3t}{1 - t} = -\frac{3t}{t - 1}\), первые два слагаемых дают \(\frac{2t}{t - 1}\), и после деления на 2 получаем \[\frac{t}{t - 1} + \frac{8t}{1 + 2t} = 1.\]
Умножим обе части на \((t - 1)(1 + 2t)\): \[t(1 + 2t) + 8t(t - 1) = (t - 1)(1 + 2t); \qquad 8t^2 - 6t + 1 = 0.\]
Дискриминант равен \(36 - 32 = 4\), поэтому \(t = \frac{6 - 2}{16} = \frac{1}{4}\) или \(t = \frac{6 + 2}{16} = \frac{1}{2}\). Отсюда \(x = 9^{\frac{1}{4}} = \sqrt{3}\) или \(x = 9^{\frac{1}{2}} = 3\). Оба числа удовлетворяют условиям области определения.
3) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x + 2 > 0, \\ x + 2 \ne 1, \\ 8 - x > 0. \end{cases}\]
Её решения — все числа промежутка \((-2;\ 8)\), кроме \(x = -1\).
Числитель левой части — логарифм по основанию 12: \(2 - 4\log_{12} 2 = \log_{12} 144 - \log_{12} 16 = \log_{12} 9\). По формуле перехода к другому основанию \(\frac{\log_{12} 9}{\log_{12} (x + 2)} = \log_{x + 2} 9\) и \(\frac{\log_6 (8 - x)}{\log_6 (x + 2)} = \log_{x + 2} (8 - x)\), поэтому уравнение принимает вид \[\log_{x + 2} 9 - 1 = \log_{x + 2} (8 - x).\]
Заменим единицу на \(\log_{x + 2} (x + 2)\) и свернём разность: \[\log_{x + 2} \frac{9}{x + 2} = \log_{x + 2} (8 - x).\]
Отсюда \(\frac{9}{x + 2} = 8 - x\); \(9 = (8 - x)(x + 2)\); \(x^2 - 6x - 7 = 0\); \(x = -1\) или \(x = 7\). Число \(-1\) не входит в область определения (при нём основание равно единице), а число 7 всем условиям удовлетворяет.
4) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x + 1 > 0, \\ x + 1 \ne 1, \\ x - 1 > 0, \\ x - 1 \ne 1, \\ x^3 - 9x + 8 > 0. \end{cases}\]
В частности, \(x > 1\) и \(x \ne 2\).
Перейдём в первом множителе к основанию \(x - 1\): \(\log_{x + 1}(x^3 - 9x + 8) = \frac{\log_{x - 1}(x^3 - 9x + 8)}{\log_{x - 1}(x + 1)}\). После умножения на \(\log_{x - 1}(x + 1)\) уравнение принимает вид \[\log_{x - 1}(x^3 - 9x + 8) = 3.\]
Отсюда \(x^3 - 9x + 8 = (x - 1)^3\); \(x^3 - 9x + 8 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\); \(3x^2 - 12x + 9 = 0\); \(x^2 - 4x + 3 = 0\); \(x = 1\) или \(x = 3\). Число 1 не входит в область определения. При \(x = 3\) имеем \(x^3 - 9x + 8 = 8 > 0\), основания равны 4 и 2 — все условия выполнены.
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 3; 2) \(\sqrt{3}\); 3; 3) 7; 4) 3.
