Страница 58 номер 6.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Второе уравнение системы равносильно системе \[\begin{cases} 2y - 3x = 4 - 4x + y, \\ 2y - 3x > 0. \end{cases}\]

Первое уравнение этой системы даёт \(y = 4 - x\); неравенство \(2y - 3x > 0\) остаётся условием отбора.

Подставим \(y = 4 - x\) в первое уравнение исходной системы. Так как \(3^{5 - y} = 3^{1 + x} = 3 \cdot 3^x\), получаем \[3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0.\]

Пусть \(3^x = u\), где \(u > 0\). Тогда \(u^2 - 12u + 27 = 0\); \(u = 3\) или \(u = 9\). Отсюда \(3^x = 3^1\) или \(3^x = 3^2\), то есть \(x = 1\) или \(x = 2\).

При \(x = 1\) имеем \(y = 3\) и \(2y - 3x = 3 > 0\) — пара подходит. При \(x = 2\) имеем \(y = 2\) и \(2y - 3x = -2 < 0\) — эта пара условию не удовлетворяет.

2) Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(y > 0\).

Числа \(x^{\log_3 y}\) и \(y^{\log_3 x}\) положительны, а их логарифмы по основанию 3 равны \(\log_3 x \cdot \log_3 y\), поэтому эти числа равны. Первое уравнение принимает вид \(2y^{\log_3 x} = 18\); \(y^{\log_3 x} = 9\). Логарифмируя обе его части по основанию 3, получаем \(\log_3 x \cdot \log_3 y = 2\).

Пусть \(\log_3 x = u\), \(\log_3 y = v\). Система принимает вид \[\begin{cases} uv = 2, \\ u + v = 3. \end{cases}\]

По теореме Виета числа \(u\) и \(v\) — корни уравнения \(z^2 - 3z + 2 = 0\), то есть числа 1 и 2.

Если \(u = 1\) и \(v = 2\), то \(x = 3\), \(y = 9\); если \(u = 2\) и \(v = 1\), то \(x = 9\), \(y = 3\).

3) Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(y > 0\).

Как и в предыдущем пункте, \(x^{\log_8 y} = y^{\log_8 x}\), поэтому первое уравнение принимает вид \(2y^{\log_8 x} = 4\); \(y^{\log_8 x} = 2\).

Пусть \(\log_2 x = u\), \(\log_2 y = v\). Тогда \(\log_8 x = \frac{u}{3}\), \(\log_8 y = \frac{v}{3}\), \(\log_4 x = \frac{u}{2}\), \(\log_4 y = \frac{v}{2}\). Логарифмируя равенство \(y^{\log_8 x} = 2\) по основанию 2, получаем \(\frac{u}{3} \cdot v = 1\), то есть \(uv = 3\). Второе уравнение даёт \(\frac{u - v}{2} = 1\); \(u - v = 2\).

Значит, \(u = v + 2\) и \(v^2 + 2v - 3 = 0\); \(v = -3\) или \(v = 1\).

Если \(v = 1\), то \(u = 3\) и \(x = 8\), \(y = 2\); если \(v = -3\), то \(u = -1\) и \(x = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{8}\).

4) Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(x \ne 1\), \(y > 0\), \(y \ne 1\).

Пусть \(\log_y x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\log_x y = \frac{1}{t}\), и первое уравнение принимает вид \(t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\); \(2t^2 - 5t + 2 = 0\); \(t = \frac{1}{2}\) или \(t = 2\).

Если \(t = 2\), то \(x = y^2\), и второе уравнение даёт \(y^3 = 27\); \(y = 3\), \(x = 9\).

Если \(t = \frac{1}{2}\), то \(y = x^2\), и второе уравнение даёт \(x^3 = 27\); \(x = 3\), \(y = 9\).

Оба основания в найденных парах отличны от единицы.

5) Так как \(\log_{\frac{1}{3}}(x - 2y) = -\log_3 (x - 2y)\), первое уравнение системы равносильно системе \[\begin{cases} \log_3 \frac{x + 2y}{x - 2y} = 1, \\ x + 2y > 0, \\ x - 2y > 0. \end{cases}\]

Отсюда \(\frac{x + 2y}{x - 2y} = 3\); \(x + 2y = 3x - 6y\); \(x = 4y\).

Подставим это во второе уравнение: \(16y^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2}y\); \(34y^2 - y - 8 = 0\). Дискриминант равен \(1 + 1088 = 1089 = 33^2\), поэтому \(y = \frac{1 - 33}{68} = -\frac{8}{17}\) или \(y = \frac{1 + 33}{68} = \frac{1}{2}\).

При \(y = \frac{1}{2}\) имеем \(x = 2\), и тогда \(x - 2y = 1 > 0\), \(x + 2y = 3 > 0\) — пара подходит. При \(y = -\frac{8}{17}\) имеем \(x = -\frac{32}{17}\) и \(x - 2y = -\frac{16}{17} < 0\) — эта пара условию не удовлетворяет.

6) Область определения системы задаётся условиями \(x > 0\), \(y > 0\).

Обе части первого уравнения положительны, поэтому его можно логарифмировать по основанию 10: \(\lg x \cdot \lg y = \lg 2\). Второе уравнение даёт \(\lg x + \lg y = \lg 20 = 1 + \lg 2\).

Пусть \(\lg x = u\), \(\lg y = v\). Тогда числа \(u\) и \(v\) — корни уравнения \(z^2 - (1 + \lg 2)z + \lg 2 = 0\), то есть уравнения \((z - 1)(z - \lg 2) = 0\). Значит, это числа 1 и \(\lg 2\).

Если \(u = 1\) и \(v = \lg 2\), то \(x = 10\), \(y = 2\); если \(u = \lg 2\) и \(v = 1\), то \(x = 2\), \(y = 10\).

Ответ: 1) \((1;\ 3)\); 2) \((3;\ 9)\), \((9;\ 3)\); 3) \(\left(\frac{1}{2};\ \frac{1}{8}\right)\), \((8;\ 2)\); 4) \((3;\ 9)\), \((9;\ 3)\); 5) \(\left(2;\ \frac{1}{2}\right)\); 6) \((2;\ 10)\), \((10;\ 2)\).