Страница 55 номер 6.10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}(9 - x^2) = \log_{6}(1 - 2x)\); 2) \(\lg(x^2 + 2x - 3) = \lg(2x^2 - 2)\); 3) \(\log_{0{,}7}(2x^2 - 9x + 4) = 2\log_{0{,}7}(x + 2)\); 4) \(2\log_{2}(-x) - \log_{2}(3x + 8) = 1\).
1) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 9 - x^{2} = 1 - 2x, \\ 1 - 2x > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 2x - 8 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 4\). Неравенство \(1 - 2x > 0\) означает \(x < 0{,}5\); ему удовлетворяет только \(-2\).
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 2x - 3 = 2x^{2} - 2, \\ 2x^{2} - 2 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 2x + 1 = 0\); \((x - 1)^{2} = 0\); \(x = 1\). При \(x = 1\) выражение \(2x^{2} - 2\) равно нулю, то есть условие \(2x^{2} - 2 > 0\) не выполняется, поэтому корней нет.
3) Выражение \(2\log_{0{,}7}(x + 2)\) определено при \(x + 2 > 0\), и там \(2\log_{0{,}7}(x + 2) = \log_{0{,}7}(x + 2)^{2}\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^{2} - 9x + 4 = (x + 2)^{2}, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\]
\(2x^{2} - 9x + 4 = x^{2} + 4x + 4\); \(x^{2} - 13x = 0\); \(x(x - 13) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 13\). Условию \(x > -2\) удовлетворяют оба числа, значит, оба они — корни уравнения.
4) Выражение \(2\log_{2}(-x)\) определено при \(-x > 0\), и там \(2\log_{2}(-x) = \log_{2} x^{2}\). Свернём разность логарифмов в логарифм частного; уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{x^{2}}{3x + 8} = 1, \\ -x > 0, \\ 3x + 8 > 0. \end{cases}\]
Два неравенства дают \(-\frac{8}{3} < x < 0\), а уравнение принимает вид \(\frac{x^{2}}{3x + 8} = 2\); \(x^{2} = 6x + 16\); \(x^{2} - 6x - 16 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 8\). Промежутку \(\left(-\frac{8}{3};\ 0\right)\) принадлежит только \(-2\).
Ответ: 1) \(-2\); 2) корней нет; 3) 0; 13; 4) \(-2\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}(9 - x^2) = \log_{6}(1 - 2x)\); 2) \(\lg(x^2 + 2x - 3) = \lg(2x^2 - 2)\); 3) \(\log_{0{,}7}(2x^2 - 9x + 4) = 2\log_{0{,}7}(x + 2)\); 4) \(2\log_{2}(-x) - \log_{2}(3x + 8) = 1\).
1) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 9 - x^{2} = 1 - 2x, \\ 1 - 2x > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 2x - 8 = 0\) получаем \(x = -2\) или \(x = 4\). Неравенство \(1 - 2x > 0\) означает \(x < 0{,}5\); ему удовлетворяет только \(-2\).
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 2x - 3 = 2x^{2} - 2, \\ 2x^{2} - 2 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 2x + 1 = 0\) получаем \((x - 1)^{2} = 0\); \(x = 1\). При \(x = 1\) выражение \(2x^{2} - 2\) равно нулю, то есть неравенство \(2x^{2} - 2 > 0\) не выполняется, поэтому система решений не имеет.
3) Выражение \(2\log_{0{,}7}(x + 2)\) определено при \(x + 2 > 0\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{0{,}7}(x + 2) = \log_{0{,}7}(x + 2)^{2}\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 2x^{2} - 9x + 4 = (x + 2)^{2}, \\ x + 2 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(2x^{2} - 9x + 4 = x^{2} + 4x + 4\) получаем \(x^{2} - 13x = 0\); \(x(x - 13) = 0\); \(x = 0\) или \(x = 13\). Неравенство \(x > -2\) выполняется при каждом из этих чисел, значит, оба они — корни уравнения.
4) Выражение \(2\log_{2}(-x)\) определено при \(-x > 0\), и при таких значениях \(x\) верно равенство \(2\log_{2}(-x) = \log_{2} x^{2}\). Разность логарифмов свернём в логарифм частного; данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_{2} \frac{x^{2}}{3x + 8} = 1, \\ -x > 0, \\ 3x + 8 > 0. \end{cases}\]
Два неравенства дают \(-\frac{8}{3} < x < 0\), а уравнение принимает вид \(\frac{x^{2}}{3x + 8} = 2\). Отсюда \(x^{2} = 6x + 16\); \(x^{2} - 6x - 16 = 0\); \(x = -2\) или \(x = 8\). Промежутку \(\left(-\frac{8}{3};\ 0\right)\) принадлежит только \(-2\).
Ответ: 1) \(-2\); 2) корней нет; 3) 0; 13; 4) \(-2\).
