Страница 58 номер 6.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
При \(x > 0\) имеем \(\log_2 x^2 = 2\log_2 x\), поэтому по основанию 2: \[\frac{2}{\log_2 x} + \frac{3}{\log_2 x} = 5.\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\frac{5}{t} = 5\); \(t = 1\); \(\log_2 x = 1\); \(x = 2\) — удовлетворяет обоим условиям ОДЗ.
2) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
\(\log_x 16 = \frac{4}{\log_2 x}\), \(\log_{16} x = \frac{\log_2 x}{4}\). Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne 0\): \[3 \cdot \frac{4}{t} - 4 \cdot \frac{t}{4} = 2t; \qquad \frac{12}{t} = 3t; \qquad t^2 = 4.\]
\(t = -2\) или \(t = 2\), то есть \(\log_2 x = -2\) или \(\log_2 x = 2\); \(x = \frac{1}{4}\) или \(x = 4\).
3) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ x \ne \frac{1}{2}, \\ x \ne \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\); условия ОДЗ означают, что \(t \ne 0\), \(t \ne -1\), \(t \ne -2\). Так как \(\log_2 2x = 1 + t\) и \(\log_2 4x = 2 + t\), то \[\frac{1}{t} \cdot \frac{1}{1 + t} = \frac{1}{2 + t}.\]
Знаменатели отличны от нуля, поэтому \(t(1 + t) = 2 + t\); \(t^2 = 2\); \(t = -\sqrt{2}\) или \(t = \sqrt{2}\) — оба значения допустимы, и \(x = 2^{-\sqrt{2}}\) или \(x = 2^{\sqrt{2}}\).
4) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{3}, \\ x \ne \frac{1}{9}. \end{cases}\]
Число \(x = 1\) здесь допустимо: единица стоит не в основании, а под знаком логарифма.
Пусть \(\log_3 x = t\); при \(x > 0\) имеем \(\log_3 x^2 = 2t\), а также \(\log_3 3x = 1 + t\), \(\log_3 9x = 2 + t\), причём \(t \ne -1\) и \(t \ne -2\): \[\frac{3t}{1 + t} = \frac{4t}{2 + t}.\]
\(3t(2 + t) = 4t(1 + t)\); \(t^2 - 2t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 2\); \(x = 1\) или \(x = 9\).
5) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{4}, \\ x \ne \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne -2\) и \(t \ne -1\); при \(x > 0\) имеем \(\log_2 x^3 = 3t\): \[\frac{6t}{2 + t} = \frac{5t}{1 + t}.\]
\(6t(1 + t) = 5t(2 + t)\); \(t^2 - 4t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 4\); \(x = 1\) или \(x = 16\).
6) ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne -2\); тогда \(\log_{4x} 2 = \frac{1}{2 + t}\): \[\frac{1}{2 + t} + t = 0.\]
\(1 + t(2 + t) = 0\); \((t + 1)^2 = 0\); \(t = -1\); левая часть — полный квадрат, других значений нет; \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) 2; 2) \(\frac{1}{4}\); 4; 3) \(2^{-\sqrt{2}}\); \(2^{\sqrt{2}}\); 4) 1; 9; 5) 1; 16; 6) \(\frac{1}{2}\).
1) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Перейдём к логарифмам по основанию 2. Так как \(x > 0\), то \(\log_2 x^2 = 2\log_2 x\), и уравнение принимает вид \[\frac{\log_2 4}{\log_2 x} + \frac{\log_2 64}{2\log_2 x} = 5; \qquad \frac{2}{\log_2 x} + \frac{3}{\log_2 x} = 5.\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne 0\). Тогда \(\frac{5}{t} = 5\); \(t = 1\). Отсюда \(\log_2 x = 1\); \(x = 2\). Найденное число удовлетворяет обоим условиям области определения.
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Перейдём к логарифмам по основанию 2: \(\log_x 16 = \frac{4}{\log_2 x}\), \(\log_{16} x = \frac{\log_2 x}{4}\). Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne 0\). Получаем: \[3 \cdot \frac{4}{t} - 4 \cdot \frac{t}{4} = 2t; \qquad \frac{12}{t} = 3t; \qquad t^2 = 4.\]
Отсюда \(t = -2\) или \(t = 2\), то есть \(\log_2 x = -2\) или \(\log_2 x = 2\). Получаем: \(x = \frac{1}{4}\) или \(x = 4\).
3) Основания всех трёх логарифмов должны быть положительны и отличны от единицы, поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne 1, \\ x \ne \frac{1}{2}, \\ x \ne \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\); условия области определения означают, что \(t \ne 0\), \(t \ne -1\), \(t \ne -2\). Так как \(\log_2 2x = 1 + t\) и \(\log_2 4x = 2 + t\), уравнение принимает вид \[\frac{1}{t} \cdot \frac{1}{1 + t} = \frac{1}{2 + t}.\]
Знаменатели отличны от нуля, поэтому \(t(1 + t) = 2 + t\); \(t^2 = 2\); \(t = -\sqrt{2}\) или \(t = \sqrt{2}\). Оба значения допустимы, и \(x = 2^{-\sqrt{2}}\) или \(x = 2^{\sqrt{2}}\).
4) Основания логарифмов — \(3x\) и \(9x\), поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{3}, \\ x \ne \frac{1}{9}. \end{cases}\]
Число \(x = 1\) здесь допустимо: единица стоит не в основании, а под знаком логарифма.
Пусть \(\log_3 x = t\). Так как \(x > 0\), то \(\log_3 x^2 = 2t\); кроме того, \(\log_3 3x = 1 + t\) и \(\log_3 9x = 2 + t\), причём \(t \ne -1\) и \(t \ne -2\). Уравнение принимает вид \[\frac{3t}{1 + t} = \frac{4t}{2 + t}.\]
Отсюда \(3t(2 + t) = 4t(1 + t)\); \(t^2 - 2t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 2\). Получаем: \(x = 1\) или \(x = 9\).
5) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{4}, \\ x \ne \frac{1}{2}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne -2\) и \(t \ne -1\). Так как \(x > 0\), то \(\log_2 x^3 = 3t\), и уравнение принимает вид \[\frac{6t}{2 + t} = \frac{5t}{1 + t}.\]
Отсюда \(6t(1 + t) = 5t(2 + t)\); \(t^2 - 4t = 0\); \(t = 0\) или \(t = 4\). Получаем: \(x = 1\) или \(x = 16\).
6) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ x \ne \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Пусть \(\log_2 x = t\), где \(t \ne -2\). Тогда \(\log_{4x} 2 = \frac{1}{2 + t}\), и уравнение принимает вид \[\frac{1}{2 + t} + t = 0.\]
Отсюда \(1 + t(2 + t) = 0\); \(t^2 + 2t + 1 = 0\); \((t + 1)^2 = 0\); \(t = -1\). Левая часть — полный квадрат, поэтому других значений \(t\) нет. Получаем: \(\log_2 x = -1\); \(x = \frac{1}{2}\).
Ответ: 1) 2; 2) \(\frac{1}{4}\); 4; 3) \(2^{-\sqrt{2}}\); \(2^{\sqrt{2}}\); 4) 1; 9; 5) 1; 16; 6) \(\frac{1}{2}\).
