Страница 48 номер 5.37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите наибольшее значение функции: 1) \(y = \log_{0{,}1}(x^2 + 100)\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 6x + 14)\).
1) Выражение \(x^{2} + 100\) положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения — \(\mathbf{R}\).
Так как \(x^{2} \geqslant 0\), то \(x^{2} + 100 \geqslant 100\), причём равенство только при \(x = 0\): наименьшее значение выражения под знаком логарифма равно 100.
Основание \(0{,}1\) меньше единицы — функция убывающая: чем меньше выражение под знаком логарифма, тем больше значение функции. Значит, наибольшее значение достигается при \(x = 0\) и равно \(\log_{0{,}1} 100 = -2\), так как \(0{,}1^{-2} = 100\).
2) \(x^{2} - 6x + 14 = (x - 3)^{2} + 5\) — выражение положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения — \(\mathbf{R}\).
Так как \((x - 3)^{2} \geqslant 0\), то \((x - 3)^{2} + 5 \geqslant 5\), причём равенство только при \(x = 3\): наименьшее значение выражения под знаком логарифма равно 5.
Основание \(\frac{1}{5}\) меньше единицы — функция убывающая, поэтому наибольшее значение достигается при \(x = 3\) и равно \(\log_{\frac{1}{5}} 5 = -1\).
Ответ: 1) \(-2\); 2) \(-1\).
Найдите наибольшее значение функции: 1) \(y = \log_{0{,}1}(x^2 + 100)\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 6x + 14)\).
1) Выражение \(x^{2} + 100\) положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Так как \(x^{2} \geqslant 0\), то \(x^{2} + 100 \geqslant 100\), причём равенство достигается только при \(x = 0\). Значит, наименьшее значение выражения под знаком логарифма равно 100.
Основание \(0{,}1\) меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывающая: чем меньше выражение под знаком логарифма, тем больше значение функции. Следовательно, наибольшее значение данной функции достигается при \(x = 0\) и равно \(\log_{0{,}1} 100\). Так как \(0{,}1^{-2} = 100\), то \(\log_{0{,}1} 100 = -2\).
2) Выделим квадрат двучлена: \(x^{2} - 6x + 14 = (x - 3)^{2} + 5\). Это выражение положительно при всех значениях переменной, поэтому область определения функции — множество \(\mathbf{R}\).
Так как \((x - 3)^{2} \geqslant 0\), то \((x - 3)^{2} + 5 \geqslant 5\), причём равенство достигается только при \(x = 3\). Значит, наименьшее значение выражения под знаком логарифма равно 5.
Основание \(\frac{1}{5}\) меньше единицы, поэтому логарифмическая функция убывающая, и наибольшее значение данной функции достигается при \(x = 3\); оно равно \(\log_{\frac{1}{5}} 5 = -1\).
Ответ: 1) \(-2\); 2) \(-1\).
