Страница 54 номер 6.3, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{\pi}(x + 1) = \log_{\pi}(4x - 5)\); 2) \(\log_{5}(3x - 5) = \log_{5}(x - 3)\); 3) \(\lg(x^2 + 2) = \lg(3x + 6)\).
1) Основание \(\pi\) положительно и отлично от единицы, поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 = 4x - 5, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
\(3x = 6\);
\(x = 2\); условие \(x + 1 > 0\) выполняется, значит, 2 — корень уравнения.
2) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x - 5 = x - 3, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
\(2x = 2\);
\(x = 1\); условие \(x - 3 > 0\) не выполняется, поэтому корней нет.
3) Условие положительности удобнее взять у выражения \(x^{2} + 2\): оно положительно при всех значениях \(x\). Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 2 = 3x + 6, \\ x^{2} + 2 > 0. \end{cases}\]
\(x^{2} - 3x - 4 = 0\);
\(x = -1\) или \(x = 4\); оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 2; 2) корней нет; 3) \(-1\); 4.
Решите уравнение: 1) \(\log_{\pi}(x + 1) = \log_{\pi}(4x - 5)\); 2) \(\log_{5}(3x - 5) = \log_{5}(x - 3)\); 3) \(\lg(x^2 + 2) = \lg(3x + 6)\).
Уравнение вида \(\log_{a} f(x) = \log_{a} g(x)\) равносильно системе, в которой первая строка — уравнение \(f(x) = g(x)\), а вторая — одно из неравенств \(f(x) > 0\) или \(g(x) > 0\); берут то из них, которое решается легче.
1) Основание \(\pi\) положительно и отлично от единицы. Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 1 = 4x - 5, \\ x + 1 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(3x = 6\) получаем \(x = 2\). Неравенство \(x + 1 > 0\) при \(x = 2\) выполняется, значит, 2 — корень уравнения.
2) Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x - 5 = x - 3, \\ x - 3 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(2x = 2\) получаем \(x = 1\). Неравенство \(x - 3 > 0\) при \(x = 1\) не выполняется, поэтому система решений не имеет.
3) Условие положительности удобнее взять у выражения \(x^{2} + 2\): оно положительно при всех значениях \(x\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^{2} + 2 = 3x + 6, \\ x^{2} + 2 > 0. \end{cases}\]
Из уравнения \(x^{2} - 3x - 4 = 0\) получаем \(x = -1\) или \(x = 4\). Неравенство \(x^{2} + 2 > 0\) выполняется при каждом из этих чисел, значит, оба они — корни уравнения.
Ответ: 1) 2; 2) корней нет; 3) \(-1\); 4.
