Страница 57 номер 6.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

1) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_3 x^3 = 3\log_3 x\), и уравнение принимает вид \(9\log_3^2 x + 4\log_3 x - 5 = 0\).

Пусть \(\log_3 x = t\). Тогда \(9t^2 + 4t - 5 = 0\); \(t = -1\) или \(t = \frac{5}{9}\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_3 x = -1, \\ \log_3 x = \frac{5}{9}; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{3}, \\ x = 3^{\frac{5}{9}}. \end{array}\right.\)

2) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\lg(10x^2) = \lg 10 + \lg x^2 = 1 + 2\lg x\).

Пусть \(\lg x = t\). Тогда \((1 + 2t)t = 1\); \(2t^2 + t - 1 = 0\); \(t = -1\) или \(t = \frac{1}{2}\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -1, \\ \lg x = \frac{1}{2}; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0{,}1, \\ x = \sqrt{10}. \end{array}\right.\)

3) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 > 0, \\ \frac{16}{x} > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > 0\). На этом множестве \(\log_4 x^2 = 2\log_4 x\), а \(\log_4 \frac{16}{x} = 2 - \log_4 x\).

Пусть \(\log_4 x = t\). Тогда \(2t(2 - t) = 2\); \(t^2 - 2t + 1 = 0\); \(t = 1\). Отсюда \(\log_4 x = 1\); \(x = 4\).

4) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} 4x > 0, \\ 0{,}25x > 0. \end{cases}\] Отсюда \(x > 0\). На этом множестве \(\log_2(4x) = 2 + \log_2 x\), а \(\log_2(0{,}25x) = \log_2 x - 2\).

Пусть \(\log_2 x = t\). Тогда \((2 + t)(t - 2) = 5\); \(t^2 = 9\); \(t = -3\) или \(t = 3\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_2 x = -3, \\ \log_2 x = 3; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{8}, \\ x = 8. \end{array}\right.\)

5) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\lg(100x) = 2 + \lg x\).

Пусть \(\lg x = t\). Тогда \((2 + t)^2 + 2t = 20\); \(t^2 + 6t - 16 = 0\); \(t = -8\) или \(t = 2\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \lg x = -8, \\ \lg x = 2; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 10^{-8}, \\ x = 100. \end{array}\right.\)

6) Область определения уравнения — множество \((0;\ +\infty)\). На нём \(\log_5(5x) = 1 + \log_5 x\), а \(\log_5 \frac{x}{25} = \log_5 x - 2\).

Пусть \(\log_5 x = t\). Тогда \((1 + t)^2 + t - 2 = 3\); \(t^2 + 3t - 4 = 0\); \(t = -4\) или \(t = 1\). Отсюда \(\left[\begin{array}{l} \log_5 x = -4, \\ \log_5 x = 1; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{625}, \\ x = 5. \end{array}\right.\)

7) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} \lg x > 0, \\ \lg x^2 - 1 > 0. \end{cases}\]

Из первого неравенства следует, что \(x > 1\), поэтому \(\lg x^2 = 2\lg x\) и второе неравенство принимает вид \(2\lg x - 1 > 0\). Данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \lg(\lg x \cdot (2\lg x - 1)) = 0, \\ \lg x > \frac{1}{2}. \end{cases}\]

Пусть \(\lg x = t\), где \(t > \frac{1}{2}\). Тогда \(t(2t - 1) = 1\); \(2t^2 - t - 1 = 0\); \(t = -\frac{1}{2}\) или \(t = 1\). Условию \(t > \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(t = 1\). Отсюда \(\lg x = 1\); \(x = 10\).

8) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} \lg x > 0, \\ 2\lg x + 8 > 0. \end{cases}\] Второе неравенство следует из первого, поэтому остаётся условие \(\lg x > 0\).

Так как \(\lg x > 0\), то \(2\lg(\lg x) = \lg\left((\lg x)^2\right)\), и данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} (\lg x)^2 = 2\lg x + 8, \\ \lg x > 0. \end{cases}\]

Пусть \(\lg x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(t^2 - 2t - 8 = 0\); \(t = -2\) или \(t = 4\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 4\). Отсюда \(\lg x = 4\); \(x = 10\,000\).

Ответ: 1) \(\frac{1}{3}\); \(3^{\frac{5}{9}}\); 2) \(0{,}1\); \(\sqrt{10}\); 3) 4; 4) \(\frac{1}{8}\); 8; 5) \(10^{-8}\); 100; 6) \(\frac{1}{625}\); 5; 7) 10; 8) \(10\,000\).