Страница 55 номер 6.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}\); 2) \(\log_{5} x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}\); 3) \(\lg \lg \lg x = 0\).
1) ОДЗ: \(\frac{1}{x} > 0\) и \(\sqrt[3]{x} > 0\), то есть \(x > 0\). Тогда \(\log_{3} \frac{1}{x} = -\log_{3} x\), \(\log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}\log_{3} x\), и \[-\log_{3} x + \frac{1}{3}\log_{3} x = \frac{4}{3}; \qquad -\frac{2}{3}\log_{3} x = \frac{4}{3}.\]
\(\log_{3} x = -2\); \(x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\).
2) ОДЗ: \(x > 0\). Перейдём к логарифмам по основанию 5: \(\log_{25} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} 25} = \frac{1}{2}\log_{5} x\), \(\log_{625} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} 625} = \frac{1}{4}\log_{5} x\), и \[\log_{5} x - \frac{1}{2}\log_{5} x + \frac{1}{4}\log_{5} x = \frac{3}{4}; \qquad \frac{3}{4}\log_{5} x = \frac{3}{4}.\]
\(\log_{5} x = 1\); \(x = 5\).
3) Раскрываем логарифмы по одному, снаружи внутрь: \(\lg \lg x = 10^{0}\), то есть \(\lg \lg x = 1\); затем \(\lg x = 10^{1} = 10\); наконец, \(x = 10^{10}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 2) 5; 3) \(10^{10}\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{3} \frac{1}{x} + \log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{4}{3}\); 2) \(\log_{5} x - \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4}\); 3) \(\lg \lg \lg x = 0\).
1) Под знаками логарифмов стоят выражения \(\frac{1}{x}\) и \(\sqrt[3]{x}\), положительные только при \(x > 0\), поэтому область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\). На этом промежутке \(\log_{3} \frac{1}{x} = -\log_{3} x\) и \(\log_{3} \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}\log_{3} x\), поэтому уравнение принимает вид \[-\log_{3} x + \frac{1}{3}\log_{3} x = \frac{4}{3}; \qquad -\frac{2}{3}\log_{3} x = \frac{4}{3}.\]
Отсюда \(\log_{3} x = -2\); \(x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\).
2) Область определения уравнения — промежуток \((0;\ +\infty)\). Перейдём к логарифмам по основанию 5: \(\log_{25} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} 25} = \frac{1}{2}\log_{5} x\), \(\log_{625} x = \frac{\log_{5} x}{\log_{5} 625} = \frac{1}{4}\log_{5} x\). Уравнение принимает вид \[\log_{5} x - \frac{1}{2}\log_{5} x + \frac{1}{4}\log_{5} x = \frac{3}{4}; \qquad \frac{3}{4}\log_{5} x = \frac{3}{4}.\]
Отсюда \(\log_{5} x = 1\); \(x = 5\).
3) Раскрываем логарифмы по одному, снаружи внутрь: \(\lg \lg x = 10^{0}\), то есть \(\lg \lg x = 1\); затем \(\lg x = 10^{1} = 10\); наконец, \(x = 10^{10}\).
Ответ: 1) \(\frac{1}{9}\); 2) 5; 3) \(10^{10}\).
