Страница 54 номер 6.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(x - 1) = 1\); 2) \(\log_{3}(2x + 1) = 3\); 3) \(\lg(3 - 2x) = 2\); 4) \(\log_{\frac{1}{6}}(4x - 8) = -2\); 5) \(\log_{7}(x^2 - 2x - 8) = 1\); 6) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4\).
1) \(x - 1 = 2^{1}\); \(x - 1 = 2\); \(x = 3\).
2) \(2x + 1 = 3^{3}\); \(2x + 1 = 27\); \(2x = 26\); \(x = 13\).
3) Основание десятичного логарифма равно 10, поэтому \(3 - 2x = 10^{2}\); \(3 - 2x = 100\); \(-2x = 97\); \(x = -48{,}5\).
4) \(4x - 8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}\); \(4x - 8 = 36\); \(4x = 44\); \(x = 11\).
5) \(x^{2} - 2x - 8 = 7^{1}\); \(x^{2} - 2x - 15 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 5\). При каждом из них выражение \(x^{2} - 2x - 8\) равно 7, то есть положительно: оба числа — корни уравнения.
6) \(x^{2} + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\); \(x^{2} + 4x - 5 = 16\); \(x^{2} + 4x - 21 = 0\); \(x = -7\) или \(x = 3\). Оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 3; 2) 13; 3) \(-48{,}5\); 4) 11; 5) \(-3\); 5; 6) \(-7\); 3.
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(x - 1) = 1\); 2) \(\log_{3}(2x + 1) = 3\); 3) \(\lg(3 - 2x) = 2\); 4) \(\log_{\frac{1}{6}}(4x - 8) = -2\); 5) \(\log_{7}(x^2 - 2x - 8) = 1\); 6) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4\).
Уравнение вида \(\log_{a} f(x) = b\) равносильно уравнению \(f(x) = a^{b}\): степень \(a^{b}\) положительна, поэтому выражение под знаком логарифма оказывается положительным само собой и отдельного условия не требует.
1) По определению логарифма \(x - 1 = 2^{1}\). Отсюда \(x - 1 = 2\); \(x = 3\).
2) Имеем: \(2x + 1 = 3^{3}\); \(2x + 1 = 27\); \(2x = 26\); \(x = 13\).
3) Основание десятичного логарифма равно 10, поэтому \(3 - 2x = 10^{2}\). Отсюда \(3 - 2x = 100\); \(-2x = 97\); \(x = -48{,}5\).
4) Имеем: \(4x - 8 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}\); \(4x - 8 = 36\); \(4x = 44\); \(x = 11\).
5) Имеем: \(x^{2} - 2x - 8 = 7^{1}\); \(x^{2} - 2x - 15 = 0\); \(x = -3\) или \(x = 5\). Оба числа — корни уравнения: при каждом из них выражение \(x^{2} - 2x - 8\) равно 7, то есть положительно.
6) Имеем: \(x^{2} + 4x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4}\); \(x^{2} + 4x - 5 = 16\); \(x^{2} + 4x - 21 = 0\); \(x = -7\) или \(x = 3\). Оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 3; 2) 13; 3) \(-48{,}5\); 4) 11; 5) \(-3\); 5; 6) \(-7\); 3.
