Страница 48 номер 5.41, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) наименьшее значение функции \(f(x) = 9\log_{2}^{2} x - 30\log_{2} x + 61 - 9a^2\) на отрезке \([1;\ 4]\) является положительным числом?
Функция определена при \(x > 0\), и отрезок \([1;\ 4]\) лежит в её области определения.
Пусть \(\log_{2} x = t\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая и непрерывная, поэтому при \(x\) из отрезка \([1;\ 4]\) переменная \(t\) пробегает отрезок с концами \(\log_{2} 1 = 0\) и \(\log_{2} 4 = 2\), то есть \([0;\ 2]\). Значит, наименьшее значение данной функции равно наименьшему значению квадратичной функции \(g(t) = 9t^{2} - 30t + 61 - 9a^{2}\) на отрезке \([0;\ 2]\).
\[\begin{aligned} &9t^{2} - 30t + 61 - 9a^{2} = 9\left(t^{2} - \frac{10}{3}t\right) + 61 - 9a^{2} = {} \\ &= 9\left(t - \frac{5}{3}\right)^{2} - 25 + 61 - 9a^{2} = 9\left(t - \frac{5}{3}\right)^{2} + 36 - 9a^{2}. \end{aligned}\]
Ветви параболы направлены вверх, а абсцисса вершины \(t = \frac{5}{3}\) принадлежит отрезку \([0;\ 2]\), поэтому наименьшее значение достигается в вершине и равно \(36 - 9a^{2}\).
По условию \(36 - 9a^{2} > 0\), откуда \(a^{2} < 4\), то есть \((a - 2)(a + 2) < 0\) и \(-2 < a < 2\).
Ответ: \((-2;\ 2)\).
При каких значениях параметра \(a\) наименьшее значение функции \(f(x) = 9\log_{2}^{2} x - 30\log_{2} x + 61 - 9a^2\) на отрезке \([1;\ 4]\) является положительным числом?
Функция определена при \(x > 0\), поэтому отрезок \([1;\ 4]\) целиком лежит в её области определения.
Пусть \(\log_{2} x = t\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая и непрерывная, поэтому, когда \(x\) пробегает отрезок \([1;\ 4]\), переменная \(t\) пробегает отрезок с концами \(\log_{2} 1 = 0\) и \(\log_{2} 4 = 2\), то есть отрезок \([0;\ 2]\). Значит, наименьшее значение данной функции на отрезке \([1;\ 4]\) равно наименьшему значению квадратичной функции \(g(t) = 9t^{2} - 30t + 61 - 9a^{2}\) на отрезке \([0;\ 2]\).
Выделим квадрат двучлена: \[\begin{aligned} &9t^{2} - 30t + 61 - 9a^{2} = 9\left(t^{2} - \frac{10}{3}t\right) + 61 - 9a^{2} = {} \\ &= 9\left(t - \frac{5}{3}\right)^{2} - 25 + 61 - 9a^{2} = 9\left(t - \frac{5}{3}\right)^{2} + 36 - 9a^{2}. \end{aligned}\]
Ветви параболы направлены вверх, а абсцисса её вершины \(t = \frac{5}{3}\) принадлежит отрезку \([0;\ 2]\), поэтому наименьшее значение достигается в вершине и равно \(36 - 9a^{2}\).
По условию это значение положительно: \(36 - 9a^{2} > 0\). Отсюда \(a^{2} < 4\), то есть \((a - 2)(a + 2) < 0\), откуда \(-2 < a < 2\).
Ответ: \((-2;\ 2)\).
