Страница 48 номер 5.42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) наибольшее значение функции \(f(x) = -4\log_{3}^{2} x + 20\log_{3} x - 9a^2\) на отрезке \([3;\ 27]\) является отрицательным числом?
Функция определена при \(x > 0\), и отрезок \([3;\ 27]\) лежит в её области определения.
Пусть \(\log_{3} x = t\). Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая и непрерывная, поэтому при \(x\) из отрезка \([3;\ 27]\) переменная \(t\) пробегает отрезок с концами \(\log_{3} 3 = 1\) и \(\log_{3} 27 = 3\), то есть \([1;\ 3]\). Значит, наибольшее значение данной функции равно наибольшему значению квадратичной функции \(g(t) = -4t^{2} + 20t - 9a^{2}\) на отрезке \([1;\ 3]\).
\[\begin{aligned} &-4t^{2} + 20t - 9a^{2} = -4\left(t^{2} - 5t\right) - 9a^{2} = {} \\ &= -4\left(t - \frac{5}{2}\right)^{2} + 25 - 9a^{2}. \end{aligned}\]
Ветви параболы направлены вниз, а абсцисса вершины \(t = \frac{5}{2}\) принадлежит отрезку \([1;\ 3]\), поэтому наибольшее значение достигается в вершине и равно \(25 - 9a^{2}\).
По условию \(25 - 9a^{2} < 0\), откуда \(9a^{2} > 25\), то есть \(\left(3a - 5\right)\left(3a + 5\right) > 0\) и \(a < -\frac{5}{3}\) или \(a > \frac{5}{3}\).
Ответ: \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{3};\ +\infty\right)\).
При каких значениях параметра \(a\) наибольшее значение функции \(f(x) = -4\log_{3}^{2} x + 20\log_{3} x - 9a^2\) на отрезке \([3;\ 27]\) является отрицательным числом?
Функция определена при \(x > 0\), поэтому отрезок \([3;\ 27]\) целиком лежит в её области определения.
Пусть \(\log_{3} x = t\). Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая и непрерывная, поэтому, когда \(x\) пробегает отрезок \([3;\ 27]\), переменная \(t\) пробегает отрезок с концами \(\log_{3} 3 = 1\) и \(\log_{3} 27 = 3\), то есть отрезок \([1;\ 3]\). Значит, наибольшее значение данной функции на отрезке \([3;\ 27]\) равно наибольшему значению квадратичной функции \(g(t) = -4t^{2} + 20t - 9a^{2}\) на отрезке \([1;\ 3]\).
Выделим квадрат двучлена: \[\begin{aligned} &-4t^{2} + 20t - 9a^{2} = -4\left(t^{2} - 5t\right) - 9a^{2} = {} \\ &= -4\left(t - \frac{5}{2}\right)^{2} + 25 - 9a^{2}. \end{aligned}\]
Ветви параболы направлены вниз, а абсцисса её вершины \(t = \frac{5}{2}\) принадлежит отрезку \([1;\ 3]\), поэтому наибольшее значение достигается в вершине и равно \(25 - 9a^{2}\).
По условию это значение отрицательно: \(25 - 9a^{2} < 0\). Отсюда \(9a^{2} > 25\), то есть \(\left(3a - 5\right)\left(3a + 5\right) > 0\), откуда \(a < -\frac{5}{3}\) или \(a > \frac{5}{3}\).
Ответ: \(\left(-\infty;\ -\frac{5}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{3};\ +\infty\right)\).
