Страница 47 номер 5.33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(1 - \sin x > 0\), то есть \(\sin x < 1\). Для любого \(x\) выполняется \(\sin x \leqslant 1\), а равенство достигается при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Отсюда \(D(y)\) — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^{2}) \geqslant 0\), причём \(1 + x^{2} > 0\) при всех \(x\) и логарифм определён. Основание меньше единицы, поэтому условие равносильно неравенству \(1 + x^{2} \leqslant 1\), то есть \(x^{2} \leqslant 0\). Единственное такое число — нуль, отсюда \(D(y) = \{0\}\).
3) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg\cos x \geqslant 0\). Основание десятичного логарифма \(10 > 1\), поэтому условие равносильно неравенству \(\cos x \geqslant 1\). Для любого \(x\) выполняется \(\cos x \leqslant 1\), поэтому остаётся \(\cos x = 1\), откуда \(x = 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); условие \(\cos x > 0\) при этом выполняется само собой. Отсюда \(D(y)\) — все числа вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Логарифм определён, знаменатель дроби не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно: \(\begin{cases} x - 3 > 0, \\ x - 3 \ne 1, \\ 6 - x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > 3, \\ x \ne 4, \\ x \leqslant 6. \end{cases}\) Отсюда \(D(y) = (3;\ 4) \cup (4;\ 6]\).
5) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель не равен нулю, поэтому \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\). При \(x \ne 0\) имеем \(x^{2} + 1 > 1\), поэтому \(\lg(x^{2} + 1) > 0\) и знак дроби совпадает со знаком её числителя. Подкоренное выражение неотрицательно: \((x + 1)(3 - x) \geqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 3\). Вместе с условием \(x \ne 0\) получаем \(D(y) = [-1;\ 0) \cup (0;\ 3]\).
6) Выражения под знаками логарифмов положительны, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} x^{2} - 4x + 3 > 0, \\ 7 - x > 0, \\ 7 - x \ne 1. \end{cases}\) Из первого неравенства \((x - 1)(x - 3) > 0\), откуда \(x < 1\) или \(x > 3\); из второго \(x < 7\); из третьего \(x \ne 6\). Отсюда \(D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (3;\ 6) \cup (6;\ 7)\).
7) Выражения под знаками логарифмов положительны, знаменатель дроби не равен нулю: \(\begin{cases} 6x - x^{2} > 0, \\ 3 - x > 0, \\ 3 - x \ne 1. \end{cases}\) Из первого неравенства \(x(6 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 6\); из второго \(x < 3\); из третьего \(x \ne 2\). Отсюда \(D(y) = (0;\ 2) \cup (2;\ 3)\).
8) Основание логарифма переменное, поэтому оно положительно и отлично от единицы, а выражение под знаком логарифма положительно: \(\begin{cases} x + 3 > 0, \\ x + 3 \ne 1, \\ x^{2} + x > 0. \end{cases}\) Отсюда \(x > -3\), \(x \ne -2\), а из неравенства \(x(x + 1) > 0\) получаем \(x < -1\) или \(x > 0\). Значит, \(D(y) = (-3;\ -2) \cup (-2;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\{0\}\); 3) все числа вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \((3;\ 4) \cup (4;\ 6]\); 5) \([-1;\ 0) \cup (0;\ 3]\); 6) \((-\infty;\ 1) \cup (3;\ 6) \cup (6;\ 7)\); 7) \((0;\ 2) \cup (2;\ 3)\); 8) \((-3;\ -2) \cup (-2;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\).
1) Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: \(1 - \sin x > 0\), то есть \(\sin x < 1\). Для любого \(x\) выполняется неравенство \(\sin x \leqslant 1\), а равенство \(\sin x = 1\) достигается при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
Отсюда \(D(y)\) — все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^{2}) \geqslant 0\). Выражение \(1 + x^{2}\) положительно при всех \(x\), поэтому логарифм определён. Логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, положительна на промежутке \((0;\ 1)\), обращается в нуль при значении аргумента 1 и отрицательна на промежутке \((1;\ +\infty)\), поэтому условие \(\log_{\frac{1}{3}}(1 + x^{2}) \geqslant 0\) равносильно неравенству \(1 + x^{2} \leqslant 1\), то есть \(x^{2} \leqslant 0\). Единственное такое число — нуль.
Отсюда \(D(y) = \{0\}\).
3) Подкоренное выражение неотрицательно: \(\lg\cos x \geqslant 0\). Десятичный логарифм имеет основание \(10 > 1\), а такая логарифмическая функция отрицательна на промежутке \((0;\ 1)\), обращается в нуль при значении аргумента 1 и положительна на промежутке \((1;\ +\infty)\), поэтому условие \(\lg\cos x \geqslant 0\) равносильно неравенству \(\cos x \geqslant 1\). Для любого \(x\) выполняется неравенство \(\cos x \leqslant 1\), поэтому остаётся \(\cos x = 1\), откуда \(x = 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Условие \(\cos x > 0\) при этом выполняется само собой.
Отсюда \(D(y)\) — все числа вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
4) Выражение \(\log_{6}(x - 3)\) имеет смысл при \(x - 3 > 0\); знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\log_{6}(x - 3) \ne 0\), то есть \(x - 3 \ne 1\); подкоренное выражение неотрицательно: \(6 - x \geqslant 0\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} x - 3 > 0, \\ x - 3 \ne 1, \\ 6 - x \geqslant 0; \end{cases}\) \(\begin{cases} x > 3, \\ x \ne 4, \\ x \leqslant 6. \end{cases}\)
Отсюда \(D(y) = (3;\ 4) \cup (4;\ 6]\).
5) Выражение \(x^{2} + 1\) положительно при всех \(x\), а знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(x^{2} + 1) \ne 0\), то есть \(x^{2} + 1 \ne 1\), откуда \(x \ne 0\). При \(x \ne 0\) имеем \(x^{2} + 1 > 1\), поэтому \(\lg(x^{2} + 1) > 0\) и знак всей дроби совпадает со знаком её числителя. Подкоренное выражение неотрицательно, значит, \((x + 1)(3 - x) \geqslant 0\), откуда \(-1 \leqslant x \leqslant 3\). Вместе с условием \(x \ne 0\) получаем два промежутка.
Отсюда \(D(y) = [-1;\ 0) \cup (0;\ 3]\).
6) Оба логарифма имеют смысл, когда выражения под их знаками положительны; кроме того, знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\log_{5}(7 - x) \ne 0\), то есть \(7 - x \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} x^{2} - 4x + 3 > 0, \\ 7 - x > 0, \\ 7 - x \ne 1. \end{cases}\)
Неравенство \(x^{2} - 4x + 3 > 0\) решим методом интервалов: \((x - 1)(x - 3) > 0\), отсюда \(x < 1\) или \(x > 3\). Второе условие даёт \(x < 7\), третье — \(x \ne 6\). Общая часть этих промежутков — три промежутка.
Отсюда \(D(y) = (-\infty;\ 1) \cup (3;\ 6) \cup (6;\ 7)\).
7) Оба логарифма имеют смысл, когда выражения под их знаками положительны; кроме того, знаменатель дроби не равен нулю, поэтому \(\lg(3 - x) \ne 0\), то есть \(3 - x \ne 1\). Область определения — множество решений системы \(\begin{cases} 6x - x^{2} > 0, \\ 3 - x > 0, \\ 3 - x \ne 1. \end{cases}\)
Из первого неравенства \(x(6 - x) > 0\), то есть \(0 < x < 6\); из второго \(x < 3\); из третьего \(x \ne 2\).
Отсюда \(D(y) = (0;\ 2) \cup (2;\ 3)\).
8) Основание логарифма переменное, поэтому оно должно быть положительным и отличным от единицы, а выражение под знаком логарифма — положительным: \(\begin{cases} x + 3 > 0, \\ x + 3 \ne 1, \\ x^{2} + x > 0. \end{cases}\)
Отсюда \(x > -3\), \(x \ne -2\), а из неравенства \(x(x + 1) > 0\) получаем \(x < -1\) или \(x > 0\). Общая часть — промежутки \(-3 < x < -1\) без точки \(-2\) и \(x > 0\).
Отсюда \(D(y) = (-3;\ -2) \cup (-2;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\).
Ответ: 1) все действительные числа, кроме чисел вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 2) \(\{0\}\); 3) все числа вида \(2\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\); 4) \((3;\ 4) \cup (4;\ 6]\); 5) \([-1;\ 0) \cup (0;\ 3]\); 6) \((-\infty;\ 1) \cup (3;\ 6) \cup (6;\ 7)\); 7) \((0;\ 2) \cup (2;\ 3)\); 8) \((-3;\ -2) \cup (-2;\ -1) \cup (0;\ +\infty)\).
