Страница 55 номер 6.7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(3^{5x - 3} + 1) = 2\); 2) \(\log_{3}(3^{x - 1} + 6) = x\); 3) \(\log_{2}(2^{x} + 7) = 3 - x\); 4) \(\log_{6}(6^{-x} - 5) = x + 1\).
1) \(3^{5x - 3} + 1 = 2^{2}\); \(3^{5x - 3} = 3\). Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому каждое своё значение принимает при единственном показателе, и \(5x - 3 = 1\); \(5x = 4\); \(x = 0{,}8\).
2) \(3^{x - 1} + 6 = 3^{x}\). Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(3^{x - 1} = \frac{t}{3}\) и \[\frac{t}{3} + 6 = t; \qquad t + 18 = 3t; \qquad t = 9.\]
Отсюда \(3^{x} = 9\); \(3^{x} = 3^{2}\); \(x = 2\).
3) \(2^{x} + 7 = 2^{3 - x}\). Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(2^{3 - x} = \frac{8}{t}\) и \[t + 7 = \frac{8}{t}; \qquad t^{2} + 7t - 8 = 0.\]
Отсюда \(t = -8\) или \(t = 1\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 1\), поэтому \(2^{x} = 1\); \(x = 0\).
4) \(6^{-x} - 5 = 6^{x + 1}\). Пусть \(6^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(6^{-x} = \frac{1}{t}\), \(6^{x + 1} = 6t\) и \[\frac{1}{t} - 5 = 6t; \qquad 1 - 5t = 6t^{2}; \qquad 6t^{2} + 5t - 1 = 0.\]
Дискриминант равен \(25 + 24 = 49\), поэтому \(t = \frac{-5 - 7}{12} = -1\) или \(t = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{1}{6}\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = \frac{1}{6}\), поэтому \(6^{x} = 6^{-1}\); \(x = -1\).
Ответ: 1) \(0{,}8\); 2) 2; 3) 0; 4) \(-1\).
Решите уравнение: 1) \(\log_{2}(3^{5x - 3} + 1) = 2\); 2) \(\log_{3}(3^{x - 1} + 6) = x\); 3) \(\log_{2}(2^{x} + 7) = 3 - x\); 4) \(\log_{6}(6^{-x} - 5) = x + 1\).
В каждом пункте переход по определению логарифма равносилен: степень с положительным основанием положительна при любом показателе, поэтому условие положительности выражения под знаком логарифма выполняется само собой.
1) Имеем: \(3^{5x - 3} + 1 = 2^{2}\); \(3^{5x - 3} = 3\). Показательная функция с основанием 3 возрастающая, поэтому каждое своё значение она принимает при единственном показателе, и \(5x - 3 = 1\). Отсюда \(5x = 4\); \(x = 0{,}8\).
2) Имеем: \(3^{x - 1} + 6 = 3^{x}\). Пусть \(3^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(3^{x - 1} = \frac{3^{x}}{3} = \frac{t}{3}\), получаем \[\frac{t}{3} + 6 = t; \qquad t + 18 = 3t; \qquad t = 9.\]
Отсюда \(3^{x} = 9\); \(3^{x} = 3^{2}\); \(x = 2\).
3) Имеем: \(2^{x} + 7 = 2^{3 - x}\). Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(2^{3 - x} = \frac{2^{3}}{2^{x}} = \frac{8}{t}\), получаем \[t + 7 = \frac{8}{t}; \qquad t^{2} + 7t - 8 = 0.\]
Отсюда \(t = -8\) или \(t = 1\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 1\), поэтому \(2^{x} = 1\); \(x = 0\).
4) Имеем: \(6^{-x} - 5 = 6^{x + 1}\). Пусть \(6^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(6^{-x} = \frac{1}{t}\) и \(6^{x + 1} = 6t\), получаем \[\frac{1}{t} - 5 = 6t; \qquad 1 - 5t = 6t^{2}; \qquad 6t^{2} + 5t - 1 = 0.\]
Дискриминант равен \(25 + 24 = 49\), поэтому \(t = \frac{-5 - 7}{12} = -1\) или \(t = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{1}{6}\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = \frac{1}{6}\), поэтому \(6^{x} = 6^{-1}\); \(x = -1\).
Ответ: 1) \(0{,}8\); 2) 2; 3) 0; 4) \(-1\).
