Страница 56 номер 6.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{2}\log_{0{,}1}(2x + 3) - \log_{0{,}1}(2x - 3) = 0\); 2) \(\log_{3}(2^{2x} + 2^{x}) = 2\log_{9} 12\); 3) \(x - \lg 5 = x\lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^{x})\).
1) При \(2x + 3 > 0\) верно равенство \(\frac{1}{2}\log_{0{,}1}(2x + 3) = \log_{0{,}1} \sqrt{2x + 3}\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \sqrt{2x + 3} = 2x - 3, \\ 2x - 3 > 0. \end{cases}\]
Обе части уравнения системы неотрицательны, возводим его в квадрат: \[2x + 3 = 4x^{2} - 12x + 9; \qquad 4x^{2} - 14x + 6 = 0; \qquad 2x^{2} - 7x + 3 = 0.\]
Дискриминант равен \(49 - 24 = 25\), поэтому \(x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}\) или \(x = \frac{7 + 5}{4} = 3\). Неравенство \(2x - 3 > 0\) означает \(x > 1{,}5\); ему удовлетворяет только 3.
2) \(\log_{9} 12 = \frac{\log_{3} 12}{\log_{3} 9} = \frac{1}{2}\log_{3} 12\), поэтому \(2\log_{9} 12 = \log_{3} 12\), и уравнение \(\log_{3}\left(2^{2x} + 2^{x}\right) = \log_{3} 12\) равносильно уравнению \(2^{2x} + 2^{x} = 12\) (число 12 положительно).
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(2^{2x} = t^{2}\) и \(t^{2} + t - 12 = 0\); \(t = -4\) или \(t = 3\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 3\), поэтому \(2^{x} = 3\); \(x = \log_{2} 3\).
3) \(x - x\lg 5 + \lg\left(1 + 2^{x}\right) = \lg 5 + 2\lg 2\). Так как \(1 = \lg 10\), то \(x - x\lg 5 = x(\lg 10 - \lg 5) = x\lg 2 = \lg 2^{x}\), а правая часть равна \(\lg 5 + \lg 4 = \lg 20\), поэтому \[\lg\left(2^{x}\left(1 + 2^{x}\right)\right) = \lg 20.\]
Выражения \(2^{x}\) и \(1 + 2^{x}\) положительны при любом \(x\), поэтому \(2^{x}\left(1 + 2^{x}\right) = 20\). Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(t^{2} + t - 20 = 0\); \(t = -5\) или \(t = 4\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(2^{x} = 4\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 3; 2) \(\log_{2} 3\); 3) 2.
Решите уравнение: 1) \(\frac{1}{2}\log_{0{,}1}(2x + 3) - \log_{0{,}1}(2x - 3) = 0\); 2) \(\log_{3}(2^{2x} + 2^{x}) = 2\log_{9} 12\); 3) \(x - \lg 5 = x\lg 5 + 2\lg 2 - \lg(1 + 2^{x})\).
1) На области определения уравнения \(2x + 3 > 0\), и там \(\frac{1}{2}\log_{0{,}1}(2x + 3) = \log_{0{,}1} \sqrt{2x + 3}\). Уравнение принимает вид \(\log_{0{,}1} \sqrt{2x + 3} = \log_{0{,}1}(2x - 3)\) и равносильно системе \[\begin{cases} \sqrt{2x + 3} = 2x - 3, \\ 2x - 3 > 0. \end{cases}\]
Обе части уравнения системы неотрицательны, поэтому его можно возвести в квадрат: \[2x + 3 = 4x^{2} - 12x + 9; \qquad 4x^{2} - 14x + 6 = 0; \qquad 2x^{2} - 7x + 3 = 0.\]
Дискриминант равен \(49 - 24 = 25\), поэтому \(x = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}\) или \(x = \frac{7 + 5}{4} = 3\). Неравенство \(2x - 3 > 0\) означает \(x > 1{,}5\); ему удовлетворяет только 3.
2) Перейдём в правой части к основанию 3: \(\log_{9} 12 = \frac{\log_{3} 12}{\log_{3} 9} = \frac{1}{2}\log_{3} 12\), поэтому \(2\log_{9} 12 = \log_{3} 12\). Уравнение принимает вид \(\log_{3}\left(2^{2x} + 2^{x}\right) = \log_{3} 12\) и равносильно уравнению \(2^{2x} + 2^{x} = 12\): число 12 положительно, и условие положительности выполняется само собой.
Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(2^{2x} = \left(2^{x}\right)^{2} = t^{2}\), получаем \(t^{2} + t - 12 = 0\); \(t = -4\) или \(t = 3\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 3\), поэтому \(2^{x} = 3\); \(x = \log_{2} 3\).
3) Соберём в левой части слагаемые с логарифмами: \(x - x\lg 5 + \lg\left(1 + 2^{x}\right) = \lg 5 + 2\lg 2\). Так как \(1 = \lg 10\), то \(x - x\lg 5 = x(\lg 10 - \lg 5) = x\lg 2 = \lg 2^{x}\), а правая часть равна \(\lg 5 + \lg 4 = \lg 20\). Получаем: \[\lg\left(2^{x}\left(1 + 2^{x}\right)\right) = \lg 20.\]
Выражения \(2^{x}\) и \(1 + 2^{x}\) положительны при любом \(x\), поэтому уравнение равносильно уравнению \(2^{x}\left(1 + 2^{x}\right) = 20\). Пусть \(2^{x} = t\), где \(t > 0\). Тогда \(t^{2} + t - 20 = 0\); \(t = -5\) или \(t = 4\). Условию \(t > 0\) удовлетворяет только \(t = 4\), поэтому \(2^{x} = 4\); \(x = 2\).
Ответ: 1) 3; 2) \(\log_{2} 3\); 3) 2.
