Страница 48 номер 5.43, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните числа \(\log_{2} 3\) и \(\log_{3} 7\).
Сравним каждое из данных чисел с числом \(\frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{3} = \log_{2} 2^{\frac{5}{3}} = \log_{2} \sqrt[3]{32}\). Так как \(3 = \sqrt[3]{27}\) и \(27 < 32\), то \(3 < \sqrt[3]{32}\); функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, поэтому \(\log_{2} 3 < \frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{3} = \log_{3} 3^{\frac{5}{3}} = \log_{3} \sqrt[3]{243}\). Так как \(7 = \sqrt[3]{343}\) и \(243 < 343\), то \(\sqrt[3]{243} < 7\); функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, поэтому \(\frac{5}{3} < \log_{3} 7\).
Следовательно, \(\log_{2} 3 < \frac{5}{3} < \log_{3} 7\).
Ответ: \(\log_{2} 3 < \log_{3} 7\).
Сравните числа \(\log_{2} 3\) и \(\log_{3} 7\).
Сравним каждое из данных чисел с числом \(\frac{5}{3}\).
Запишем \(\frac{5}{3}\) логарифмом по основанию 2: \(\frac{5}{3} = \log_{2} 2^{\frac{5}{3}} = \log_{2} \sqrt[3]{32}\). Так как \(3 = \sqrt[3]{27}\) и \(27 < 32\), то \(3 < \sqrt[3]{32}\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, поэтому \(\log_{2} 3 < \log_{2} \sqrt[3]{32}\), то есть \(\log_{2} 3 < \frac{5}{3}\).
Запишем \(\frac{5}{3}\) логарифмом по основанию 3: \(\frac{5}{3} = \log_{3} 3^{\frac{5}{3}} = \log_{3} \sqrt[3]{243}\). Так как \(7 = \sqrt[3]{343}\) и \(243 < 343\), то \(\sqrt[3]{243} < 7\). Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, поэтому \(\log_{3} \sqrt[3]{243} < \log_{3} 7\), то есть \(\frac{5}{3} < \log_{3} 7\).
Следовательно, \(\log_{2} 3 < \frac{5}{3} < \log_{3} 7\).
Ответ: \(\log_{2} 3 < \log_{3} 7\).
