Страница 57 номер 6.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\frac{2\log_{2} x}{\log_{2}(3 - 2x)} = 1\); 2) \(\frac{\log_{5}(x^2 - 9x + 25) - 1}{\lg(x - 3)} = 0\); 3) \(\log_{x - 1}(x^2 - 5x + 7) = 1\); 4) \(\log_{x}(x + 6) = 2\); 5) \(\log_{2x - 3}(3x^2 - 7x + 3) = 2\).
1) Логарифм стоит в знаменателе дроби, поэтому ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ 3 - 2x > 0, \\ 3 - 2x \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \(0 < x < 1{,}5\) и \(x \ne 1\). На этом множестве \(2\log_2 x = \log_2 x^2\), и уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2 x^2 = \log_2(3 - 2x), \\ 0 < x < 1{,}5, \\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 = 3 - 2x, \\ 0 < x < 1{,}5,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -3, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ 0 < x < 1{,}5,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Число \(-3\) отрицательно, а число 1 исключено условием \(x \ne 1\), значит, корней нет.
2) ОДЗ задаётся системой \[\begin{cases} x^2 - 9x + 25 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ \lg(x - 3) \ne 0. \end{cases}\]
Дискриминант трёхчлена \(x^2 - 9x + 25\) равен \(81 - 100 = -19\), то есть отрицателен, поэтому первое неравенство выполняется при любом \(x\); условие \(\lg(x - 3) \ne 0\) означает \(x - 3 \ne 1\), то есть \(x \ne 4\). Значит, ОДЗ — множество \((3;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля: \(\log_5(x^2 - 9x + 25) = 1\); \(x^2 - 9x + 25 = 5\); \(x^2 - 9x + 20 = 0\); \(x = 4\) или \(x = 5\). Число 4 не принадлежит ОДЗ, поэтому \(x = 5\).
3) Основанием логарифма служит \(x - 1\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 5x + 7 = x - 1, \\ x - 1 > 0, \\ x - 1 \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 6x + 8 = 0, \\ x > 1,\ x \ne 2; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 1,\ x \ne 2. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 4\).
4) Основанием логарифма служит \(x\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 6 = x^2, \\ x > 0, \\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - x - 6 = 0, \\ x > 0,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > 0,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
5) Основанием логарифма служит \(2x - 3\), поэтому уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x^2 - 7x + 3 = (2x - 3)^2, \\ 2x - 3 > 0, \\ 2x - 3 \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ x > 1{,}5,\ x \ne 2; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > 1{,}5,\ x \ne 2. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
Ответ: 1) корней нет; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 3.
Решите уравнение: 1) \(\frac{2\log_{2} x}{\log_{2}(3 - 2x)} = 1\); 2) \(\frac{\log_{5}(x^2 - 9x + 25) - 1}{\lg(x - 3)} = 0\); 3) \(\log_{x - 1}(x^2 - 5x + 7) = 1\); 4) \(\log_{x}(x + 6) = 2\); 5) \(\log_{2x - 3}(3x^2 - 7x + 3) = 2\).
1) Логарифм стоит в знаменателе дроби, поэтому область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x > 0, \\ 3 - 2x > 0, \\ 3 - 2x \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \(0 < x < 1{,}5\) и \(x \ne 1\). На этом множестве \(2\log_2 x = \log_2 x^2\), и данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} \log_2 x^2 = \log_2(3 - 2x), \\ 0 < x < 1{,}5, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \[\begin{cases} x^2 = 3 - 2x, \\ 0 < x < 1{,}5,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -3, \\ x = 1, \end{array}\right. \\ 0 < x < 1{,}5,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Число \(-3\) отрицательно, а число 1 исключено условием \(x \ne 1\). Значит, уравнение корней не имеет.
2) Область определения уравнения задаётся системой \[\begin{cases} x^2 - 9x + 25 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ \lg(x - 3) \ne 0. \end{cases}\]
Дискриминант трёхчлена \(x^2 - 9x + 25\) равен \(81 - 100 = -19\), то есть отрицателен, поэтому первое неравенство выполняется при любом \(x\); условие \(\lg(x - 3) \ne 0\) означает, что \(x - 3 \ne 1\), то есть \(x \ne 4\). Значит, область определения — множество \((3;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Имеем: \(\log_5(x^2 - 9x + 25) = 1\); \(x^2 - 9x + 25 = 5\); \(x^2 - 9x + 20 = 0\); \(x = 4\) или \(x = 5\). Число 4 не принадлежит области определения, поэтому \(x = 5\).
3) Основанием логарифма служит \(x - 1\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 5x + 7 = x - 1, \\ x - 1 > 0, \\ x - 1 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 6x + 8 = 0, \\ x > 1,\ x \ne 2; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 4, \end{array}\right. \\ x > 1,\ x \ne 2. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 4\).
4) Основанием логарифма служит \(x\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x + 6 = x^2, \\ x > 0, \\ x \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 - x - 6 = 0, \\ x > 0,\ x \ne 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > 0,\ x \ne 1. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
5) Основанием логарифма служит \(2x - 3\), поэтому данное уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x^2 - 7x + 3 = (2x - 3)^2, \\ 2x - 3 > 0, \\ 2x - 3 \ne 1. \end{cases}\]
Отсюда \[\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ x > 1{,}5,\ x \ne 2; \end{cases} \qquad \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x = 2, \\ x = 3, \end{array}\right. \\ x > 1{,}5,\ x \ne 2. \end{cases}\]
Получаем: \(x = 3\).
Ответ: 1) корней нет; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 3.
