Страница 47 номер 5.36, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = |\log_{3} x|\); 2) \(y = \log_{3} |x|\); 3) \(y = \frac{\log_{2} x}{\sqrt{\log_{2}^{2} x}}\).
1) Область определения — промежуток \((0;\ +\infty)\). Основание больше единицы, поэтому логарифм отрицателен на промежутке \((0;\ 1)\) и положителен на промежутке \((1;\ +\infty)\): \[y = \begin{cases} -\log_{3} x, \text{ если } 0 < x < 1, \\ \log_{3} x, \text{ если } x \geqslant 1. \end{cases}\]
Часть графика функции \(y = \log_{3} x\), лежащая выше оси абсцисс, остаётся на месте, а лежащая ниже отражается относительно этой оси. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\).
2) \(|x| > 0\), то есть область определения — все \(x \ne 0\). Функция чётная, поэтому при \(x > 0\) её график совпадает с графиком функции \(y = \log_{3} x\), а при \(x < 0\) получается из него симметрией относительно оси ординат. Правая ветвь проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\), левая — через симметричные им точки.
3) Область определения задаётся условиями \(x > 0\) и \(\log_{2} x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Так как \(\sqrt{\log_{2}^{2} x} = \left|\log_{2} x\right|\), функция принимает вид \(y = \frac{\log_{2} x}{\left|\log_{2} x\right|}\). Основание \(2 > 1\), поэтому \(\log_{2} x < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{2} x > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\). Частное числа и его модуля равно \(-1\) для отрицательного числа и 1 для положительного, поэтому \[y = \begin{cases} -1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ 1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = -1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = 1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
Постройте график функции: 1) \(y = |\log_{3} x|\); 2) \(y = \log_{3} |x|\); 3) \(y = \frac{\log_{2} x}{\sqrt{\log_{2}^{2} x}}\).
1) Область определения функции \(y = \left|\log_{3} x\right|\) — промежуток \((0;\ +\infty)\). Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, отрицательна на промежутке \((0;\ 1)\) и положительна на промежутке \((1;\ +\infty)\), поэтому \[y = \begin{cases} -\log_{3} x, \text{ если } 0 < x < 1, \\ \log_{3} x, \text{ если } x \geqslant 1. \end{cases}\]
Значит, ту часть графика функции \(y = \log_{3} x\), которая лежит выше оси абсцисс, оставляем на месте, а ту, которая лежит ниже, отражаем симметрично относительно оси абсцисс. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\).
2) Область определения функции \(y = \log_{3} |x|\) задаётся условием \(|x| > 0\), то есть \(x \ne 0\). Эта функция чётная: при замене \(x\) на \(-x\) значение \(|x|\) не меняется. Поэтому при \(x > 0\) её график совпадает с графиком функции \(y = \log_{3} x\), а при \(x < 0\) получается из него симметрией относительно оси ординат. Правая ветвь проходит через точки \(\left(\frac{1}{9};\ -2\right)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\), \((1;\ 0)\), \((3;\ 1)\), левая — через симметричные им точки.
3) Область определения функции \(y = \frac{\log_{2} x}{\sqrt{\log_{2}^{2} x}}\) задаётся условиями \(x > 0\) и \(\log_{2} x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Так как \(\sqrt{\log_{2}^{2} x} = \left|\log_{2} x\right|\), данная функция принимает вид \(y = \frac{\log_{2} x}{\left|\log_{2} x\right|}\). Основание 2 больше единицы, поэтому \(\log_{2} x < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{2} x > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\). Частное числа и его модуля равно \(-1\) для отрицательного числа и 1 для положительного, поэтому \[y = \begin{cases} -1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ 1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = -1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = 1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
