Страница 48 номер 5.40, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Исследуйте на чётность функцию \(y = \lg\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)\).
Обозначим \(f(x) = \lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)\).
Для любого \(x\) имеем \(\sqrt{x^{2} + 1} > \sqrt{x^{2}} = |x| \geqslant -x\), поэтому \(\sqrt{x^{2} + 1} + x > 0\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\) — множество, симметричное относительно нуля.
Воспользуемся равенством \[\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) = \left(x^{2} + 1\right) - x^{2} = 1,\] откуда \(\sqrt{x^{2} + 1} - x = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}\).
\[f(-x) = \lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) = \lg\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = -\lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right) = -f(x).\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется при всех \(x\), значит, функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
Исследуйте на чётность функцию \(y = \lg\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)\).
Обозначим \(f(x) = \lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)\).
Сначала найдём область определения. Для любого значения переменной \(\sqrt{x^{2} + 1} > \sqrt{x^{2}} = |x| \geqslant -x\), поэтому \(\sqrt{x^{2} + 1} + x > 0\) при всех \(x\). Значит, \(D(f) = \mathbf{R}\), и это множество симметрично относительно нуля.
Воспользуемся равенством \[\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right)\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) = \left(x^{2} + 1\right) - x^{2} = 1,\] откуда \(\sqrt{x^{2} + 1} - x = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}\).
Найдём значение функции в точке \(-x\): \[f(-x) = \lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} - x\right) = \lg\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = -\lg\left(\sqrt{x^{2} + 1} + x\right) = -f(x).\]
Равенство \(f(-x) = -f(x)\) выполняется для всех значений переменной, значит, данная функция нечётная.
Ответ: функция нечётная.
