Страница 55 номер 6.8, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}(6^{x + 1} - 30) = x\); 2) \(\log_{5}(6 - 5^{x}) = 1 - x\).
1) \(6^{x + 1} - 30 = 6^{x}\); переход равносилен: \(6^{x} > 0\) при любом \(x\). Пусть \(6^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(6^{x + 1} = 6t\) и \[6t - 30 = t; \qquad 5t = 30; \qquad t = 6.\]
Отсюда \(6^{x} = 6\); \(x = 1\).
2) \(6 - 5^{x} = 5^{1 - x}\). Пусть \(5^{x} = t\), где \(t > 0\); тогда \(5^{1 - x} = \frac{5}{t}\) и \[6 - t = \frac{5}{t}; \qquad 6t - t^{2} = 5; \qquad t^{2} - 6t + 5 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = 5\) — оба значения положительны. Получаем совокупность \(\left[\begin{array}{l} 5^{x} = 1, \\ 5^{x} = 5; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ x = 1. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) 1; 2) 0; 1.
Решите уравнение: 1) \(\log_{6}(6^{x + 1} - 30) = x\); 2) \(\log_{5}(6 - 5^{x}) = 1 - x\).
1) По определению логарифма \(6^{x + 1} - 30 = 6^{x}\); переход равносилен, так как степень \(6^{x}\) положительна при любом \(x\). Пусть \(6^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(6^{x + 1} = 6t\), получаем \[6t - 30 = t; \qquad 5t = 30; \qquad t = 6.\]
Отсюда \(6^{x} = 6\); \(x = 1\).
2) По определению логарифма \(6 - 5^{x} = 5^{1 - x}\). Пусть \(5^{x} = t\), где \(t > 0\). Так как \(5^{1 - x} = \frac{5}{5^{x}} = \frac{5}{t}\), получаем \[6 - t = \frac{5}{t}; \qquad 6t - t^{2} = 5; \qquad t^{2} - 6t + 5 = 0.\]
Отсюда \(t = 1\) или \(t = 5\) — оба значения положительны. Получаем совокупность \(\left[\begin{array}{l} 5^{x} = 1, \\ 5^{x} = 5; \end{array}\right.\) \(\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ x = 1. \end{array}\right.\)
Ответ: 1) 1; 2) 0; 1.
