Страница 47 номер 5.35, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Постройте график функции: 1) \(y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{2}} |x|\); 3) \(y = \frac{|\log_{0{,}2} x|}{\log_{0{,}2} x}\); 4) \(y = \sqrt{\log_{3}^{2} x}\, \log_{x} 3\).
1) Область определения — промежуток \((0;\ +\infty)\). Основание меньше единицы, поэтому логарифм положителен на промежутке \((0;\ 1)\) и отрицателен на промежутке \((1;\ +\infty)\): \[y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, \text{ если } 0 < x \leqslant 1, \\ -\log_{\frac{1}{2}} x, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
Часть графика функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\), лежащая выше оси абсцисс, остаётся на месте, а лежащая ниже отражается относительно этой оси. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\).
2) \(|x| > 0\), то есть область определения — все \(x \ne 0\). Функция чётная, поэтому при \(x > 0\) её график совпадает с графиком функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\), а при \(x < 0\) получается из него симметрией относительно оси ординат. Правая ветвь проходит через точки \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\), левая — через симметричные им точки.
3) Область определения задаётся условиями \(x > 0\) и \(\log_{0{,}2} x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому \(\log_{0{,}2} x > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{0{,}2} x < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\). Модуль положительного числа равен самому числу, отрицательного — противоположному ему, поэтому \[y = \begin{cases} 1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ -1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = 1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = -1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
4) \(\log_{3} x\) определён при \(x > 0\), а \(\log_{x} 3\) — при \(x > 0\) и \(x \ne 1\), поэтому область определения — все положительные числа, кроме 1. Так как \(\sqrt{\log_{3}^{2} x} = \left|\log_{3} x\right|\), а \(\log_{x} 3 = \frac{1}{\log_{3} x}\), функция принимает вид \(y = \frac{\left|\log_{3} x\right|}{\log_{3} x}\). Основание \(3 > 1\), поэтому \(\log_{3} x < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{3} x > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\), значит, \[y = \begin{cases} -1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ 1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = -1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = 1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
Постройте график функции: 1) \(y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|\); 2) \(y = \log_{\frac{1}{2}} |x|\); 3) \(y = \frac{|\log_{0{,}2} x|}{\log_{0{,}2} x}\); 4) \(y = \sqrt{\log_{3}^{2} x}\, \log_{x} 3\).
1) Область определения функции \(y = \left|\log_{\frac{1}{2}} x\right|\) — промежуток \((0;\ +\infty)\). Логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, положительна на промежутке \((0;\ 1)\) и отрицательна на промежутке \((1;\ +\infty)\), поэтому \[y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, \text{ если } 0 < x \leqslant 1, \\ -\log_{\frac{1}{2}} x, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
Значит, ту часть графика функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\), которая лежит выше оси абсцисс, оставляем на месте, а ту, которая лежит ниже, отражаем симметрично относительно оси абсцисс. Кривая проходит через точки \(\left(\frac{1}{4};\ 2\right)\), \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 1)\), \((4;\ 2)\).
2) Область определения функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} |x|\) задаётся условием \(|x| > 0\), то есть \(x \ne 0\). Эта функция чётная: при замене \(x\) на \(-x\) значение \(|x|\) не меняется. Поэтому при \(x > 0\) её график совпадает с графиком функции \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\), а при \(x < 0\) получается из него симметрией относительно оси ординат. Правая ветвь проходит через точки \(\left(\frac{1}{2};\ 1\right)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ -1)\), \((4;\ -2)\), левая — через симметричные им точки.
3) Область определения функции \(y = \frac{\left|\log_{0{,}2} x\right|}{\log_{0{,}2} x}\) задаётся условиями \(x > 0\) и \(\log_{0{,}2} x \ne 0\), то есть \(x \ne 1\). Основание \(0{,}2\) меньше единицы, поэтому \(\log_{0{,}2} x > 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{0{,}2} x < 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\). Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного — числу, ему противоположному, поэтому \[y = \begin{cases} 1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ -1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = 1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = -1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
4) Выражение \(\log_{3} x\) определено при \(x > 0\), а выражение \(\log_{x} 3\) — при \(x > 0\) и \(x \ne 1\), поэтому область определения — множество всех положительных чисел, кроме 1. Так как \(\sqrt{\log_{3}^{2} x} = \left|\log_{3} x\right|\), а по формуле перехода к другому основанию \(\log_{x} 3 = \frac{1}{\log_{3} x}\), данная функция принимает вид \(y = \frac{\left|\log_{3} x\right|}{\log_{3} x}\). Основание 3 больше единицы, поэтому \(\log_{3} x < 0\) на промежутке \((0;\ 1)\) и \(\log_{3} x > 0\) на промежутке \((1;\ +\infty)\). Значит, \[y = \begin{cases} -1, \text{ если } 0 < x < 1, \\ 1, \text{ если } x > 1. \end{cases}\]
График состоит из части прямой \(y = -1\) на промежутке \((0;\ 1)\) и горизонтального луча \(y = 1\) при \(x > 1\) с выколотым началом.
